Интегральное исчисление - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 9
Теорема 6. Интеграл (40) выражается через элементарные функции тогда и только тогда ,
когда одно из чисел
p,
m + 1
n
,
m + 1
n
+ p
является целым.
Доказательство. Мы докажем, что в перечисленных случая интегрирование возможно, сведя
наш интеграл подходящей заменой переменных к уже известным. Обратное у тверждение сложно,
и мы его опустим.
Если число p — целое, то, обозначая через r наименьшее общее кратное знаменателей дробей m
и n, мы получим по интегралом выражение вида R(
r
√
x), где R — рациональная функция. Такие
выражения мы интегрировать умеем — нужно сделать замену t =
r
√
x.
В противном случае сделаем замену переменных z = x
n
и получим
x
m
(a + bx
n
)
p
dx =
1
n
(a + bz)
p
z
m+1
n
−1
dz.
Вводя обозначение
m+1
n
− 1 = q, получаем
Z
x
m
(a + bx
n
)
p
dx =
1
n
Z
(a + bz)
p
z
q
dz. (41)
Если q — целое число, то мы приходим к подынтегральному выражению вида R(z,
s
√
a + bz),
где s — знаменатель дроби p, а R — рациональная функция. Для этого используется подстановка
t =
s
√
a + bz =
s
√
a + bx
n
.
Кроме того, заметим, что интеграл, стоящий в правой части равенства (41), можно переписать
в виде
Z
a + bz
z
z
p+q
dx.
Если p+q — целое число, то подынтегральное выражение можно привести к рациональному виду,
сделав подстановку
t =
s
r
a + bz
z
=
s
p
ax
−n
+ b.
Таким образом, мы рассмотрели все случаи, перечисленные в формулировке теоремы.
Пример 8. Рассмотрим интеграл
Z
3
p
1 +
4
√
x
√
x
dx ==
Z
x
−
1
2
(1 + x
1
4
)
1
3
dx.
Имеем
m = −
1
2
, n =
1
4
, p =
1
3
,
m + 1
n
= 2,
т.е. мы приходим ко второму случаю интегрируемости из теоремы 6. В рассматриваемом слу-
чае s = 3 и, значит, нужно сделать замену
t =
3
q
1 +
4
√
x, x = (t
3
− 1)
4
, dx = 12t
2
(t
3
− 1)
3
dt.
Следовательно,
Z
3
p
1 +
4
√
x
√
x
dx = 12
Z
(t
6
− t
3
) dt =
3
7
(4t
3
− 7)t
4
dt + c,
и нам остаётся подставить вместо переменной t её выражение через x.
                                    ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ                                 9

  Теорема 6. Интеграл (40) выражается через элементарные функции тогда и только тогда,
когда одно из чисел
                                    m+1     m+1
                               p,        ,        +p
                                      n       n
является целым.

Доказательство. Мы докажем, что в перечисленных случая интегрирование возможно, сведя
наш интеграл подходящей заменой переменных к уже известным. Обратное утверждение сложно,
и мы его опустим.
  Если число p — целое, то, обозначая через r наименьшее
                                                   √     общее кратное знаменателей дробей m
и n, мы получим по интегралом выражение вида R( x), где R — рациональная
                                                    r
                                                                √            функция. Такие
выражения мы интегрировать умеем — нужно сделать замену t = r x.
  В противном случае сделаем замену переменных z = xn и получим
                                                     1            m+1
                               xm (a + bxn )p dx =     (a + bz)p z n −1 dz.
                                                     n
                    m+1
Вводя обозначение    n    − 1 = q, получаем
                                                   1
                               Z                     Z
                                   m       n p
                                  x (a + bx ) dx =     (a + bz)p z q dz.                 (41)
                                                   n
                                                                                   √
Если q — целое число, то мы приходим к подынтегральному выражению вида R(z, s a + bz),
где s — знаменатель дроби p, а R — рациональная функция. Для этого используется подстановка
                                       √
                                       s
                                                √s
                                   t = a + bz = a + bxn .
   Кроме того, заметим, что интеграл, стоящий в правой части равенства (41), можно переписать
в виде
                                           a + bz  p+q
                                      Z 
                                                   z    dx.
                                              z
Если p + q — целое число, то подынтегральное выражение можно привести к рациональному виду,
сделав подстановку
                                      r
                                       s a + bz
                                                   ps
                                   t=           = ax−n + b.
                                            z
   Таким образом, мы рассмотрели все случаи, перечисленные в формулировке теоремы.         

  Пример 8. Рассмотрим интеграл
                         Z p3
                                  √
                              1+ 4x
                                         Z
                                             1        1 1
                              √     dx == x− 2 (1 + x 4 ) 3 dx.
                                x
Имеем
                                   1      1         1  m+1
                            m=− , n= , p= ,                    = 2,
                                   2      4         3     n
т.е. мы приходим ко второму случаю интегрируемости из теоремы 6. В рассматриваемом слу-
чае s = 3 и, значит, нужно сделать замену
                                √
                          q
                       t = 1 + 4 x, x = (t3 − 1)4 , dx = 12t2 (t3 − 1)3 dt.
                          3



Следовательно,
                     Z p
                       3
                              √
                         1+ 4x                          3
                                        Z
                          √      dx = 12 (t6 − t3 ) dt = (4t3 − 7)t4 dt + c,
                            x                           7
и нам остаётся подставить вместо переменной t её выражение через x.

Страницы