Интегральное исчисление - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 11
Пример 10. Рассмотрим интеграл
Z
dx
x +
√
x
2
− x + 1
.
В этом случае можно воспользоваться первой подстановкой из теоремы 7:
x =
t
2
− 1
2t − 1
, dx = 2
t
2
− t + 1
(2t − 1)
2
dt.
Поэтому
Z
dx
x +
√
x
2
− x + 1
= 2
Z
t
2
− t + 1
t(2t − 1)
2
dt =
Z
2
t
−
3
2t − 1
+
3
(2t − 1)
2
dt =
= −
3
2
·
1
2t − 1
+ 2 ln|t| −
3
2
ln|2t − 1| + c =
= −
3
2
·
1
2x + 2
√
x
2
− x + 1 − 1
−
3
2
ln|2x + 2
p
x
2
− x + 1 − 1| + 2 ln|x +
p
x
2
− x + 1| + c.
Пример 11. В качестве второго примера рассмотрим интеграл
Z
dx
√
a
2
−x
2
,
который мы уже вычисляли, теперь вычислим по-другому, воспользовавшись второй подстанов-
кой Эйлера. Положим
t =
√
a
2
−x
2
a − x
.
Тогда
x = a
t
2
− 1
t
2
− 1
, dx =
4at dt
(t
2
+ 1)
2
и
Z
dx
√
a
2
− x
2
= 2
Z
dt
t
2
+ 1
= 2 arctg t + c = 2 arctg
r
a + x
a − x
+ c.
Выражения, содержащие тригонометрические и показательные функции. Рассмотрим
несколько таких интегралов.
Выражения вида R(sin x, cos x). Для вычисления интегралов
Z
R(sin x, cos x) dx, (43)
где R — рациональная функция, существует стандартная замена переменных, сводящая эти
интегралы к рациональным функциям новой переменной. Именно, полагая t = tg
x
2
, имеем
sin x =
2 tg
x
2
1 + tg
2
x
2
=
2t
1 + t
2
, cos x =
1 − tg
2
x
2
1 + tg
2
x
2
=
1 − t
2
1 + t
2
.
Значит,
x = arctg t, dx =
2 dt
1 + t
2
и интеграл (43) преобразуется к виду
2
Z
R
2t
1 + t
2
,
1 − t
2
1 + t
2
dt
1 + t
2
.
Пример 12. Имеем
Z
(1 − a
2
) dx
1 − 2a cos x + a
2
= (1−a
2
)
Z
dt
(1 − a)
2
+ (1 + a)
2
t
2
= arctg
1 + a
1 − a
·t
+c = arctg
1 + a
1 − a
tg
x
2
+c.
                                            ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ                                           11

    Пример 10. Рассмотрим интеграл
                                                    Z
                                            dx
                                                     .     √
                                      x + x2 − x + 1
В этом случае можно воспользоваться первой подстановкой из теоремы 7:
                                             t2 − 1                     t2 − t + 1
                                    x=              ,          dx = 2              dt.
                                             2t − 1                     (2t − 1)2
Поэтому
                         t2 − t + 1           2       3         3
  Z                        Z             Z 
           dx                                                        
         √           =2             dt =        −        +             dt =
      x + x2 − x + 1     t(2t − 1)2           t    2t − 1 (2t − 1)2
                              3     1                3
                          =− ·           + 2 ln|t| − ln|2t − 1| + c =
                              2 2t − 1               2
            3          1               3            p                       p
          =− ·      √                − ln|2x + 2 x2 − x + 1 − 1| + 2 ln|x + x2 − x + 1| + c.
            2 2x + 2 x2 − x + 1 − 1 2
  Пример 11. В качестве второго примера рассмотрим интеграл
                                        Z
                                                dx
                                            √         ,
                                              a − x2
                                                2

который мы уже вычисляли, теперь вычислим по-другому, воспользовавшись второй подстанов-
кой Эйлера. Положим                          √
                                               a2 − x2
                                        t=             .
                                               a−x
Тогда
                                    t2 − 1                 4at dt
                              x=a 2        ,      dx = 2
                                    t −1                 (t + 1)2
и                                                                   r
                                                                      a+x
                Z              Z
                     dx              dt
                  √         =2     2
                                          = 2 arctg t + c = 2 arctg       + c.
                    a2 − x2       t +1                                a−x

Выражения, содержащие тригонометрические и показательные функции. Рассмотрим
несколько таких интегралов.
Выражения вида R(sin x, cos x). Для вычисления интегралов
                                   Z
                                     R(sin x, cos x) dx,                                                    (43)

где R — рациональная функция, существует стандартная замена переменных, сводящая эти
интегралы к рациональным функциям новой переменной. Именно, полагая t = tg x2 , имеем
                                  2 tg x2             2t                     1 − tg2     x
                                                                                         2       1 − t2
                      sin x =               x   =          ,      cos x =                x   =          .
                                1 + tg2     2       1 + t2                   1 + tg2     2       1 + t2
Значит,
                                                                            2 dt
                                            x = arctg t,          dx =
                                                                           1 + t2
и интеграл (43) преобразуется к виду
                                         2t 1 − t2  dt
                                   Z 
                                  2 R        ,              .
                                       1 + t2 1 + t2 1 + t2
    Пример 12. Имеем
       (1 − a2 ) dx                                               1 + a              1 + a x
Z                                Z
                             2              dt
                      = (1− a  )                          = arctg       ·t + c = arctg       tg  + c.
    1 − 2a cos x + a2              (1 − a)2 + (1 + a)2 t2          1−a                  1−a 2

Страницы