Интегральное исчисление - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

14 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Предложение 3. Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:
1) Любая нижняя сумма Дарбу, независимо от разбиения отрезка, не превосходит верней.
2) Для любых сумм Дарбу и интегральных сумм выполняются неравенства
s 6 σ 6 S.
3) Если к точкам деления отрезка добавить новые, то нижняя сумма Дарбу может только
увеличиться, а верхняя — уменьшиться.
Теорема 8 (условие существования интеграла). Для су ществования определённого интеграла
необходимо и достаточно, чтобы
lim
λ→0
(S − s) = 0.
Опишем важнейшие классы интегрируемых функций (напомним, что мы рассматриваем только
ограниченные функции).
Предложение 4. Пусть задан отрезок [a, b].
1) Любая непрерывная на этом отрезке функция интегрируема.
2) Любая функция, имеющая только конечное число точек разрыва, интегрируема
3) Любая монотонная на отрезке функция интегрируема.
Свойства определённого интеграла. Начнём со свойств, связанных с отрезком интегрирова-
ния.
Предложение 5. Имеют место равенства
Z
b
a
f(x) dx = −
Z
a
b
f(x) dx,
Z
a
a
f(x) dx = 0.
Кроме того, если функция интегрируема на отрезке [a, b] и [b, c], то она интегрируема на отрез-
ке [a, c], причём выполняется равенство
Z
b
a
f(x) dx +
Z
c
b
f(x) dx =
Z
c
a
f(x) dx.
Следующая группа свойств связана с простейшими арифметическими операциями с интегри-
руемыми функциями.
Предложение 6. Если функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то и функция y =
kf (x), где k — постоянная, также интегрируема на этом отрезке, причём
Z
b
a
kf (x) dx = k
Z
b
a
f(x) dx.
Если задана ещё одна интегрируемая функция y = g(x), то и функция f (x) ± g(x) интегрируема
и
Z
b
a
(f(x) ±g(x) dx =
Z
b
a
f(x) dx ±
Z
b
a
g(x) dx.
Опишем теперь свойства интегралов, выражаемые неравенствами.
Предложение 7. Пусть на отрезке [a, b], a 6 b, задана интегрируемая функция y = f(x).
Тогда:
1) Если f (x) > 0 на всём отрезке, то
Z
b
a
f(x) dx > 0.
14                                       ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

     Предложение 3. Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:
      1) Любая нижняя сумма Дарбу, независимо от разбиения отрезка, не превосходит верней.
      2) Для любых сумм Дарбу и интегральных сумм выполняются неравенства
                                                   s 6 σ 6 S.
      3) Если к точкам деления отрезка добавить новые, то нижняя сумма Дарбу может только
         увеличиться, а верхняя — уменьшиться.
  Теорема 8 (условие существования интеграла). Для существования определённого интеграла
необходимо и достаточно, чтобы
                                     lim (S − s) = 0.
                                              λ→0

  Опишем важнейшие классы интегрируемых функций (напомним, что мы рассматриваем только
ограниченные функции).
     Предложение 4. Пусть задан отрезок [a, b].
      1) Любая непрерывная на этом отрезке функция интегрируема.
      2) Любая функция, имеющая только конечное число точек разрыва, интегрируема
      3) Любая монотонная на отрезке функция интегрируема.

Свойства определённого интеграла. Начнём со свойств, связанных с отрезком интегрирова-
ния.
     Предложение 5. Имеют место равенства
                       Z b              Z a                            Z   a
                           f (x) dx = −     f (x) dx,                          f (x) dx = 0.
                             a                 b                       a
Кроме того, если функция интегрируема на отрезке [a, b] и [b, c], то она интегрируема на отрез-
ке [a, c], причём выполняется равенство
                              Z b            Z c            Z c
                                  f (x) dx +     f (x) dx =     f (x) dx.
                                     a                 b               a

  Следующая группа свойств связана с простейшими арифметическими операциями с интегри-
руемыми функциями.
   Предложение 6. Если функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то и функция y =
kf (x), где k — постоянная, также интегрируема на этом отрезке, причём
                                   Z b               Z b
                                       kf (x) dx = k     f (x) dx.
                                          a                    a
Если задана ещё одна интегрируемая функция y = g(x), то и функция f (x) ± g(x) интегрируема
и                       Z b                    Z b            Z b
                            (f (x) ± g(x) dx =     f (x) dx ±     g(x) dx.
                                 a                         a                    a

     Опишем теперь свойства интегралов, выражаемые неравенствами.
  Предложение 7. Пусть на отрезке [a, b], a 6 b, задана интегрируемая функция y = f (x).
Тогда:
      1) Если f (x) > 0 на всём отрезке, то
                                              Z    b
                                                       f (x) dx > 0.
                                               a

Страницы