ВУЗ:
Рубрика:
24 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Примеры вычислений. Для вычисления несобственных интегралов используют формулу Нью-
тона–Лейбница, различные подстановки (замены переменных), интегрирование по частям и ис-
кусственные приёмы.
Формула Ньютона–Лейбница. Применение формулы Ньютона–Лейбница основывается на ре-
зультатах предложения 11, и мы уже использовали этот приём в примере 24.
Пример 25.
Z
+∞
0
dx
1 + x
2
= lim
b→+∞
arctg b − arctg 0 =
π
2
.
Пример 26. Из равенств (44) следует, что
Z
+∞
0
e
−ax
sin bx dx = lim
x→+∞
a sin bx −b cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
+
b
a
2
+ b
2
=
b
a
2
+ b
2
,
Z
+∞
0
e
−ax
cos bx dx = lim
x→+∞
b s in bx + a cos bx
a
2
+ b
2
e
ax
+
a
a
2
+ b
2
=
a
a
2
+ b
2
.
Пример 27.
Z
1
−1
dx
√
1 − x
2
=
Z
1
a
dx
√
1 − x
2
+
Z
a
−1
dx
√
1 − x
2
=
= (lim
x→1
arcsin x − arcsin a) + (arcsin a − lim
x→−1
arcsin x) = π
где a — произвольная точка, лежащая в интервале (−1, 1).
Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям в случае несобственных ин-
тегралов выглядит следующим образом:
Z
b
a
f(x) dg (x) = lim
x→b
(f(x)g(x)) − lim
x→a
(f(x)g(x)) −
Z
b
a
g(x) df(x). (74)
Здесь и a, и b могут принимать бесконечные значения.
Пример 28.
Z
1
0
ln x dx = lim
x→1
x ln x − lim
x→0
x ln x −
Z
1
0
dx = −1.
Пример 29.
Z
π
2
0
ln sin x dx = lim
x→
π
2
x ln sin x − lim
x→0
x ln sin x −
Z
π
2
0
x
cos x
sin x
dx =
Z
π
2
0
x ctg x dx.
Таким образом, исходный интеграл свёлся к собственному и, значит, сходится.
Подстановки. Общее правило использования подстановок в несобственных интегралах таково:
рассмотрим полуинтервал [a, b), где b может принимать значение +∞. Пусть y = f (x) — функция,
интегрируемая на любом конечном отрезке [a, b
′
] ⊂ [a, b). Пусть также на этом полуинтервале
задана монотонно возрастающая функция s = ϕ(t) с непрерывной первой производной и α = ϕ(a),
β = lim
t→b
ϕ(t). Тогда имеет место равенство
Z
b
a
f(x) dx =
Z
β
α
f(ϕ(t))ϕ
′
(t) dt.
В частности, интегралы, стоящие в левой и правой части этого равенства, сходятся и расходятся
одновременно.
Аналогичное утверждение справедливо для полуинтервала (a, b], интервала (a, b), а также для
монотонно убывающей функции ϕ(t).
24 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Примеры вычислений. Для вычисления несобственных интегралов используют формулу Нью-
тона–Лейбница, различные подстановки (замены переменных), интегрирование по частям и ис-
кусственные приёмы.
Формула Ньютона–Лейбница. Применение формулы Ньютона–Лейбница основывается на ре-
зультатах предложения 11, и мы уже использовали этот приём в примере 24.
Пример 25. Z +∞
dx
= lim arctg b − arctg 0 = π2 .
0 1 + x2 b→+∞
Пример 26. Из равенств (44) следует, что
Z +∞
a sin bx − b cos bx ax b b
e−ax sin bx dx = lim 2 2
e + 2 2
= 2 ,
0 x→+∞ a +b a +b a + b2
Z +∞
b sin bx + a cos bx ax a a
e−ax cos bx dx = lim 2 2
e + 2 2
= 2 .
0 x→+∞ a +b a +b a + b2
Пример 27.
Z 1 Z 1 Z a
dx dx dx
√ = √ + √ =
1−x 2 1−x 2 1 − x2
−1 a −1
= ( lim arcsin x − arcsin a) + (arcsin a − lim arcsin x) = π
x→1 x→−1
где a — произвольная точка, лежащая в интервале (−1, 1).
Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям в случае несобственных ин-
тегралов выглядит следующим образом:
Z b Z b
f (x) dg(x) = lim (f (x)g(x)) − lim (f (x)g(x)) − g(x) df (x). (74)
a x→b x→a a
Здесь и a, и b могут принимать бесконечные значения.
Пример 28. Z 1 Z 1
ln x dx = lim x ln x − lim x ln x − dx = −1.
0 x→1 x→0 0
Пример 29.
Z π π π
cos x
Z Z
2 2 2
ln sin x dx = limπ x ln sin x − lim x ln sin x − x dx = x ctg x dx.
0 x→ 2 x→0 0 sin x 0
Таким образом, исходный интеграл свёлся к собственному и, значит, сходится.
Подстановки. Общее правило использования подстановок в несобственных интегралах таково:
рассмотрим полуинтервал [a, b), где b может принимать значение +∞. Пусть y = f (x) — функция,
интегрируемая на любом конечном отрезке [a, b′ ] ⊂ [a, b). Пусть также на этом полуинтервале
задана монотонно возрастающая функция s = ϕ(t) с непрерывной первой производной и α = ϕ(a),
β = limϕ(t). Тогда имеет место равенство
t→b
Z b Z β
f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt.
a α
В частности, интегралы, стоящие в левой и правой части этого равенства, сходятся и расходятся
одновременно.
Аналогичное утверждение справедливо для полуинтервала (a, b], интервала (a, b), а также для
монотонно убывающей функции ϕ(t).
