ВУЗ:
Рубрика:
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 25
Пример 30. Рассмотрим интеграл
Z
b
a
dx
p
(x − a)(x − b)
и подстановку x = a cos
2
t + b s in
2
t. Тогда α = 0, β =
π
2
, и мы получаем
Z
b
a
dx
p
(x − a)(x − b)
= 2
Z π
2
0
dt = π.
Пример 31. Интеграл
I =
Z
+∞
0
dx
1 + x
4
вычисляется следующим образом. Во-первых, сделаем подстановку x =
1
t
:
I = −
Z
0
+∞
t
2
dt
1 + t
4
=
Z
0
+∞
t
2
dt
1 + t
4
.
Поэтому
I =
1
2
Z
+∞
0
(1 + x
2
) dx
1 + x
4
=
1
2
Z
+∞
0
(1 +
1
x
2
) dx
x
2
+
1
x
2
.
В последнем интеграле сделаем замену z = x −
1
x
:
I =
1
2
Z
+∞
−∞
dz
z
2
+ 2
=
1
2
√
2
lim
x→+∞
arctg
z
√
2
− lim
x→−∞
arctg
z
√
2
=
π
2
√
2
.
Заметим, что в последнем примере были использованы не только подстановки, но и допол-
нительный приём. Такие приёмы называют искусственными, поскольку они выходят за рамки
стандартных, регулярных методов. Рассмотрим другие примеры подобного рода.
Искусственные приёмы.
Пример 32. В примере 29 мы показали, что интеграл
J =
Z
π
2
0
ln sin x dx
сходится. Теперь мы его вычислим. Для этого сделаем замену переменных x = 2t и получим
J = 2
Z
π
4
0
(ln 2 + ln sin t + ln cos t) dt =
π
2
ln 2 + 2
Z
π
4
0
ln sin t dt + 2
Z
π
4
0
ln cos t dt.
Сделав в последнем интеграле замену t =
π
2
− u, мы приведём его к виду
R
π
2
π
4
ln sin t dt. Таким
образом,
J =
π
2
ln 2 + 2
Z
π
4
0
ln sin t dt +
Z
π
2
π
4
ln sin t dt =
π
2
ln 2 + 2J,
т.е.
Z
π
2
0
ln sin x dx = −
π
2
ln 2.
Пример 33. Рассмотрим интеграл
K =
Z
+∞
0
e
−x
2
dx. (75)
Этот интеграл играет чрезвычайно важную роль в теории вероятностей и математической ста-
тистике. Покажем, что он сходится. Для этого заметим, что функция (1 + t)e
−t
при t ∈ (0, +∞)
строго меньше единицы. Полагая t = x
2
+ 1, получаем
0 < e
−x
2
<
1
1 + x
2
.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 25
Пример 30. Рассмотрим интеграл
Z b
dx
p
a (x − a)(x − b)
2
и подстановку x = a cos2 t + b sin t. Тогда α = 0, β = π2 , и мы получаем
Z b Z π
dx 2
p =2 dt = π.
a (x − a)(x − b) 0
Пример 31. Интеграл Z +∞
dx
I=
0 1 + x4
вычисляется следующим образом. Во-первых, сделаем подстановку x = 1t :
Z 0 Z 0
t2 dt t2 dt
I =− 4
= 4
.
+∞ 1 + t +∞ 1 + t
Поэтому
1 +∞ (1 + x2 ) dx 1 +∞ (1 + x12 ) dx
Z Z
I= = .
2 0 1 + x4 2 0 x2 + x12
В последнем интеграле сделаем замену z = x − x1 :
1 +∞ dz 1
Z
lim arctg √z2 − lim arctg √z π
I= = √ = √ .
2 −∞ z 2 + 2 2 2 x→+∞ x→−∞ 2 2 2
Заметим, что в последнем примере были использованы не только подстановки, но и допол-
нительный приём. Такие приёмы называют искусственными, поскольку они выходят за рамки
стандартных, регулярных методов. Рассмотрим другие примеры подобного рода.
Искусственные приёмы.
Пример 32. В примере 29 мы показали, что интеграл
Z π
2
J= ln sin x dx
0
сходится. Теперь мы его вычислим. Для этого сделаем замену переменных x = 2t и получим
Z π Z π Z π
4 π 4 4
J =2 (ln 2 + ln sin t + ln cos t) dt = ln 2 + 2 ln sin t dt + 2 ln cos t dt.
0 2 0 0
Rπ
Сделав в последнем интеграле замену t = π2 − u, мы приведём его к виду π2 ln sin t dt. Таким
4
образом,
Z π Z π
π 4 2 π
J = ln 2 + 2 ln sin t dt + ln sin t dt = ln 2 + 2J,
2 0 π 2
4
т.е. Z π
2 π
ln sin x dx = − ln 2.
0 2
Пример 33. Рассмотрим интеграл
Z +∞
2
K= e−x dx. (75)
0
Этот интеграл играет чрезвычайно важную роль в теории вероятностей и математической ста-
тистике. Покажем, что он сходится. Для этого заметим, что функция (1 + t)e−t при t ∈ (0, +∞)
строго меньше единицы. Полагая t = x2 + 1, получаем
2 1
0 < e−x < .
1 + x2
