Электродинамика. Исаев Г.П. - 109 стр.

    В уравнении (13.1) введем в рассмотрение следующую
величину

                                        ~
              δ 2 = − λ2 = − ω2 ε a μ a .           (13.2)
    С учетом соотношения (13.2) выражение (13.1) принима-
ет вид
                   •
               d 2 E x (z )       •

                      2
                            + δ 2 E x (z ) = 0 .
                  dz                                (13.3)
    Уравнение (13.3) представляет из себя однородное диф-
ференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами. Его частные решения ищем в виде
                       •
                    E x ( z ) = e δz .                (13.4)
    Если выражение (13.4) является решением уравнения
(13.3), то при его подстановке в выражение (13.3) получится
тождество. Для того чтобы это показать, вычислим первую и
вторую производные от выражения (13.4)

                                           d δz        d
                                              e = e δ z (δ z ) = e δ z δ.
                                           dz          dz
                                      1.
                                                                   (13.5)

       d2 δ z
          2
            e =
                d ⎛ d δz ⎞
                    ⎜⎜ e ⎟⎟ =
                              d δz
                                 e δ =       (      )
    2.
       dz       d z ⎝ dz  ⎠   dz       = δ2 eδz .
(13.6)

    Подставляя выражения (13.5) и (13.6) в уравнение Гельм-
гольца (13.3), далее получаем

                           δ 2 e δ z − λ2 e δ z = 0 .
    Откуда получаем

                           δ = ± λ.                                (13.7)
                                  109