Электродинамика. Исаев Г.П. - 126 стр.

                                                     ⎛ → →⎞
                   D1 n Δ S − D 2 n Δ S +        ∫   ⎜D d s ⎟ =
                                                Sбок ⎝      ⎠
                                                                  ∫ ρ dv .
                                                                  V
                                                                 (18.4)
    Перейдем к пределу в левой и правой частях выражения
(18.4)
             ⎛                             ⎛ → → ⎞ ⎞⎟
        lim ⎜ D1 n Δ S − D 2 n Δ S +      ∫                   ∫
                                           ⎜ D d s ⎟ = lim ρ dv .
       Δ h→0 ⎜                             ⎝       ⎠ ⎟⎠ Δ h →0
             ⎝                       S бок                     V

    Учитывая, что предел разности или суммы функций ра-
вен разности или суммы пределов функций, далее можно за-
писать

                                                         ⎛ → →⎞
      lim D1 n Δ S − lim D 2 n Δ S + lim
     Δ h →0               Δ h→0               Δ h→0  ∫           ⎠   Δ h→0
                                                                           V
                                                                             ∫
                                                         ⎜ D d s ⎟ = lim ρ dv .
                                                    Sбок ⎝
                                                      (18.5)
    Третье слагаемое в левой части выражения (18.5) обраща-
ется в нуль. Что касается правой части, то при устремлении
образующей цилиндра к нулю, он будет вырождаться в пло-
скую фигуру площадью ΔS на границе раздела сред, следова-
тельно, необходимо от объемной плотности заряда ρ перейти
к поверхностной плотности заряда σ
                    lim
                   Δ h→0   ∫ ρ dv   = σΔ S .
                           V                         (18.6)
    С учетом сказанного и выражения (18.6) можно записать

                   D1 n Δ S − D 2 n Δ S + 0 = σ Δ S .
    Окончательно получаем
                  D1 n − D 2 n = σ .
                                                    (18.7)
    В случае отсутствия свободных зарядов на границе двух
сред ( σ = 0), нормальная составляющая вектора электриче-
ского смещения является непрерывной, в противном случае
при наличии поверхностного заряда нормальная составляю-
щая вектора электрического смещения терпит разрыв.

                                    126