Обработка и визуализация данных физических экспериментов с помощью пакета Origin. Исакова О.П - 63 стр.

                                   Приложение
                             Метод наименьших квадратов

     Наиболее распространенным методом аппроксимации эксперимен-
тальных данных является метод наименьших квадратов. В методе наи-
меньших квадратов требуют, чтобы сумма квадратов отклонений от ап-
проксимирующей функции до экспериментальных точек была минималь-
            n
ной: Φ = ∑ ( f ( xi ) − yi ) → min . Здесь   { xi , yi } –
                         2
                                                                 координаты эксперимен-
           i =1
тальных точек, f ( x) – аппроксимирующая функция, n – число экспери-
ментальных точек.
       Таким образом, не требуется, чтобы аппроксимирующая функция
проходила через все заданные точки, как в случае интерполяции, что осо-
бенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих погреш-
ности.
       Важной особенностью метода является то, что аппроксимирующая
функция может быть произвольной. Ее вид определяется особенностями
решаемой задачи, например, физическими соображениями, если проводит-
ся аппроксимация результатов физического эксперимента.
       Простейшим вариантом метода наименьших квадратов является ап-
проксимация прямой линией. Кроме того, часто бывает возможно путем
замены переменных свести задачу к линейной (провести линеаризацию).
       Если точность определения экспериментальных данных различна для
различных точек, то можно использовать погрешности в качестве весов,
т.е. потребовать, чтобы аппроксимирующая функция проходила как можно
ближе к экспериментальным точкам с малой погрешностью измерения и
не слишком далеко от точек с высокой погрешностью измерения.
       В общем случае для нахождения аппроксимирующей функции по
методу наименьших квадратов требуется решить задачу нелинейной опти-
мизации. Однако в случае аппроксимации прямой линией все выкладки
можно провести вручную и получить формулы для коэффициентов пря-
мой.
       Будем искать аппроксимирующую функции в виде полинома первой
степени: f ( x) = ax + b . Задача состоит в определении неизвестных коэф-
фициентов a и b. Таким образом, мы ищем такие значения параметров a и
                                       n
b, при которых функция Φ (a, b) = ∑ ( axi + b − yi ) будет минимальной. Как
                                                             2

                                      i =1




Исакова О.П., Тарасевич Ю.Ю., 2007                                                  63