ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Исакова О.П., Тарасевич Ю.Ю., 2007
66
Элементарные сведения по теории перколяции
Слово «перколяция» (percolation – англ.) означает протекание. Название
возникло в связи с тем, что ряд первых работ в этом направлении был по-
священ процессам протекания жидкостей или газов через пористую среду.
До сих пор эта тематика занимает существенную часть в работах по теории
перколяции.
Теория перколяции занимается изучением свойств неупорядоченных сис-
тем. Ее интересует образование связанных объектов внутри неупорядочен-
ной среды.
Перколяция является критическим явлением. Это чисто геометрический
фазовый переход, тесно связанный с обычными фазовыми переходами
второго порядка. Теория перколяции является очень простым, но универ-
сальным, мощным и полезным инструментом. Теория привлекает внима-
ние исследователей (математиков, программистов, физиков, инженеров) по
различным причинам от чисто теоретических до прикладных, поскольку
успешно применяется для решения широкого круга задач в разнообразных
областях. Она позволяет описать процессы самой разной природы, когда
при плавном изменении одного из параметров системы (концентрации че-
го-то) свойства системы меняются скачком. Теория перокляции использу-
ется для описания фазовых переходов металл–изолятор, парамагнетик–
ферромагнетик, золь–гель, процессов полимеризации, для моделирования
процесса распространение эпидемий и т.д.
Пусть, некоторая система заполняется случайным образом объектами с за-
данной концентрацией. Объекты могут связываться друг с другом, образуя
кластер (cluster – англ. – гроздь). При определенной концентрации объек-
тов возможно появление кластера, пронизывающего всю систему. При
возникновении такого кластера свойства системы меняются, происходит
фазовый переход.
Один из возможных типов перколяционных задач и вместе с тем наиболее
часто используемый и простейший – перколяция узлов. В общем, перколя-
ция узлов определяется на решетке (графе) в d-мерном пространстве, где
каждый узел (вершина) может быть занят с вероятностью
p
или свободен
с вероятностью
1
p
−
. Соседние занятые решетки образуют кластер. Если
кластер столь велик, что достигает противоположных сторон системы, то
он называется перколяционным. Очевидно, что для решетки конечного
размера перколяционные кластеры могут возникать при разных концен-
трациях. Однако в термодинамическом пределе, если размер системы уст-
ремить к бесконечности, критическая концентрация станет вполне опреде-
ленной. Это строго доказано. Такую критическую концентрацию называют
порог перколяции.
Элементарные сведения по теории перколяции Слово «перколяция» (percolation – англ.) означает протекание. Название возникло в связи с тем, что ряд первых работ в этом направлении был по- священ процессам протекания жидкостей или газов через пористую среду. До сих пор эта тематика занимает существенную часть в работах по теории перколяции. Теория перколяции занимается изучением свойств неупорядоченных сис- тем. Ее интересует образование связанных объектов внутри неупорядочен- ной среды. Перколяция является критическим явлением. Это чисто геометрический фазовый переход, тесно связанный с обычными фазовыми переходами второго порядка. Теория перколяции является очень простым, но универ- сальным, мощным и полезным инструментом. Теория привлекает внима- ние исследователей (математиков, программистов, физиков, инженеров) по различным причинам от чисто теоретических до прикладных, поскольку успешно применяется для решения широкого круга задач в разнообразных областях. Она позволяет описать процессы самой разной природы, когда при плавном изменении одного из параметров системы (концентрации че- го-то) свойства системы меняются скачком. Теория перокляции использу- ется для описания фазовых переходов металл–изолятор, парамагнетик– ферромагнетик, золь–гель, процессов полимеризации, для моделирования процесса распространение эпидемий и т.д. Пусть, некоторая система заполняется случайным образом объектами с за- данной концентрацией. Объекты могут связываться друг с другом, образуя кластер (cluster – англ. – гроздь). При определенной концентрации объек- тов возможно появление кластера, пронизывающего всю систему. При возникновении такого кластера свойства системы меняются, происходит фазовый переход. Один из возможных типов перколяционных задач и вместе с тем наиболее часто используемый и простейший – перколяция узлов. В общем, перколя- ция узлов определяется на решетке (графе) в d-мерном пространстве, где каждый узел (вершина) может быть занят с вероятностью p или свободен с вероятностью 1 − p . Соседние занятые решетки образуют кластер. Если кластер столь велик, что достигает противоположных сторон системы, то он называется перколяционным. Очевидно, что для решетки конечного размера перколяционные кластеры могут возникать при разных концен- трациях. Однако в термодинамическом пределе, если размер системы уст- ремить к бесконечности, критическая концентрация станет вполне опреде- ленной. Это строго доказано. Такую критическую концентрацию называют порог перколяции. Исакова О.П., Тарасевич Ю.Ю., 2007 66
