Основы компьютерного проектирования и моделирования радиоэлектронных средств. Ишков А.С. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

31
Выберем в качестве независимых переменных ток i
L
и напряжение u
c
и
запишем для них систему топологических уравнений:
i
C
+ i
L
- i
R
= 0,
-Е + u
R
+ u
C
= 0,
u
L
– u
C
= 0.
Используя компонентные уравнения u
R
= Ri
R
, i
C
= Cdu
C
/dt, u
L
= Ldi
L
/dt,
получим систему:
(
)
(
)
()
()
()
L
tu
d
t
tdi
ti
R
tuE
Cdt
tdu
C
L
L
CC
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−−
=
1
.
3.5 Численные методы решения системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений при моделировании переходных процессов
Задача расчета переходного процесса в схеме математически формули-
руется как задача Коши, т.е. ищется решение x(t) на интервале от 0 до t при за-
данных начальных условиях x(t
0
) = x
0
. Искомая функция x(t) определяется в от-
дельных точках (узлах) t
1
, t
2
, …, t
n
, на которые разбивается заданный интервал
времени. Расстояние между узлами ∆t = t
n+1
– t
n
называется шагом интегрирова-
ния h, который определяется в процессе вычислений или может быть задан.
Таким образом, процесс решения задачи сводится к нахождению для
очередного момента времени t
n+1
значения x
n+1
=x(t
n+1
) по уже известным значе-
ниям узловых напряжений (или токов) и их производных в предыдущих вре-
менных узлах.
Методами решения уравнения
()
),( ttxF
dt
dx
= является явный метод Эй-
лера: x
n+1
= x
n
+ hf(x
n
, t
n
) и неявный метод Эйлера: x
n+1
= x
n
+ hf(x
n+1
, t
n+1
).
Пример. Рассчитать переходной процесс в цепи, изображённой на ри-
сунке 14, с помощью прямой формулы Эйлера.
В такой цепи происходит разряд конденсатора с ёмкостью C = 1 мкФ,
заряженного до напряжения 1 В, через резистор с сопротивлением R = 1 кОм.
Рисунок 14
Если принять u
c
(t)=x(t), x(0)=1В и постоянную времени τ = RC = 10
-3
сек,
то процессы в этой цепи будут описываться дифференциальным уравнением
(
)
(
)
()
tuRC
RC
tu
dt
tdu
C
CC
⋅−==
Если решать это уравнение с помощью прямой формулы Эйлера и выбрать
h = 200 мкс с начальным условием x(0)=1, то 
      Выберем в качестве независимых переменных ток iL и напряжение uc и
запишем для них систему топологических уравнений:
      iC + iL - iR = 0,
      -Е + uR + uC = 0,
      uL – uC = 0.
      Используя компонентные уравнения uR = RiR, iC = CduC/dt, uL = LdiL/dt,
получим систему:
                          duC (t ) 1 ⎛ − E − uC (t )          ⎞
                                   = ⎜               − iL (t )⎟
                            dt      C⎝     R                  ⎠.
                          diL (t ) uC (t )
                                  =
                            dt       L

        3.5 Численные методы решения системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений при моделировании переходных процессов
        Задача расчета переходного процесса в схеме математически формули-
руется как задача Коши, т.е. ищется решение x(t) на интервале от 0 до t при за-
данных начальных условиях x(t0) = x0. Искомая функция x(t) определяется в от-
дельных точках (узлах) t1, t2, …, tn, на которые разбивается заданный интервал
времени. Расстояние между узлами ∆t = tn+1 – tn называется шагом интегрирова-
ния h, который определяется в процессе вычислений или может быть задан.
        Таким образом, процесс решения задачи сводится к нахождению для
очередного момента времени tn+1 значения xn+1=x(tn+1) по уже известным значе-
ниям узловых напряжений (или токов) и их производных в предыдущих вре-
менных узлах.
                                         dx
        Методами решения уравнения           = F ( x(t ), t ) является явный метод Эй-
                                          dt
лера: xn+1 = xn + hf(xn, tn) и неявный метод Эйлера: xn+1 = xn + hf(xn+1, tn+1).
        Пример. Рассчитать переходной процесс в цепи, изображённой на ри-
сунке 14, с помощью прямой формулы Эйлера.
        В такой цепи происходит разряд конденсатора с ёмкостью C = 1 мкФ,
заряженного до напряжения 1 В, через резистор с сопротивлением R = 1 кОм.




                                    Рисунок 14
       Если принять uc(t)=x(t), x(0)=1В и постоянную времени τ = RC = 10-3 сек,
то процессы в этой цепи будут описываться дифференциальным уравнением
                                duC (t ) uC (t )
                                        =        = − RC ⋅ uC (t )
                                  dt      RC
Если решать это уравнение с помощью прямой формулы Эйлера и выбрать
h = 200 мкс с начальным условием x(0)=1, то


                                                                                   31

Страницы