Основы механики материальной точки. Ивахник В.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Работа, совершаемая потенциальной силой, равна разности потенци-
альных энергий в начальной и конечной точках
38
21n п
A
EE
=
− . (4.20)
Если сила потенциальная, то элементарная работа
A
δ
равна измене-
нию потенциальной энергии со знаком минус
(
)
,,
кп
Fdr dE x y z=−
G
G
. (4.21)
Или в декартовой системе координат
ппп
кx кy кz
EEE
Fdx Fdy Fdz dx dy dz
xyz
⎛⎞
∂∂∂
++=− + +
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
. (4.22)
Здесь
,,
nnn
E
EE
yz
∂∂∂
∂∂∂
– частные производные от потенциальной энергии.
Из (4.22) следует, что
п
кx
E
F
x
∂
=−
∂
,
п
кy
E
F
y
∂
=−
∂
,
п
кz
E
F
z
∂
=−
∂
.
Силу
можно записать следующим образом F
G
пп
ккx кy кz
п
E
EE
FFiFjFk i j k
x
yz
∂
∂∂
=++=− − −
∂∂∂
G
G
G
GG G G
.
Или, вынося
п
E
, получим
к
F i j k E gradE
xyz
⎛⎞
∂∂∂
=− + + =−
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
пп
G
G
GG
. (4.23)
Сила называется консервативной (или потенциальной), если ее мож-
но представить в виде градиента т некоторой скалярной функции о
кп
FgradE=−
G
.
Это еще одно определение потенциальной силы, эквивалентное пре-
дыдущим.
Рассмотрим примеры потенциальных сил.
1. Сила тяжести:
Fmg=
G
G
.
Выберем систему координат таким образом, чтобы ось
была на-
правлена в сторону, противоположную силе тяжести. Тогда
.
Y
0,
xz y
FF F mg== =−
Если сила потенциальная, существует функция
n
E
такая, что
0
0.
n
n
n
E
mg
y
E
x
E
z
∂
⎧
−=−
⎪
∂
⎪
∂
⎪
=−
⎨
∂
⎪
∂
⎪
=−
⎪
∂
⎩
, (4.24)

Страницы