ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
2
d
dt
ϕ
уменьшается. Это может быть только в том случае, если в правой час-
ти (9.18) стоит слагаемое со знаком минус.
Ограничимся рассмотрением малых колебаний, т.е. колебаний, для
которых
. Введем обозначение
sin
ϕ≈ϕ
2
0
g
l
ω
= , тогда уравнение (9.18)
примет вид
2
2
0
2
0
d
dt
ϕ
+
ωϕ= . (9.19)
Формально уравнения (9.19) и (9.2) совпадают при замене
на ϕ
x
.
Решением уравнения (9.19) является функция
00
() cos( )tA t
ϕ
=ω+ϕ
Таким образом, мы показали, что при малых отклонениях от положе-
ния равновесия угловое отклонение математического маятника изменяется
по гармоническому закону с периодом
0
2
2
l
T
g
π
==π
ω
. (9.20)
9.1.3. Затухающие колебания
Вновь рассмотрим систему, состоящую из шарика, который с помо-
щью пружины прикреплен к стенке. В общем случае на шарик, выведен-
ный из положения равновесия, наряду с упругой силой будет действовать
сила трения. Шарик движется в воздухе, который препятствует этому дви-
жению. Сила трения связана со скоростью движения шарика выражением
,
тр
dx
Faa a
dt
0.
=
−υ=− >
G
G
G
(9.21)
С учетом (9.21) основное уравнение движения примет вид
2
2
dx dx
mkxa
dt dt
=− −
. (9.22)
Обозначим
2
a
m
=γ
. Тогда уравнение (9.22) можно переписать сле-
дующим образом
2
2
0
2
2
dx dx
x
dt dt
0.
+
γ+ω= (9.23)
Непосредственной подстановкой можно показать, что общее решение
этого уравнения имеет вид
22
00
() cos( ) () cos( )
tt
xt Ae t xt Ae t
−γ −γ
=ω−γ+ϕ⇒=ω
0
+ϕ
, (9.24)
78
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
