Основы механики материальной точки. Ивахник В.В. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

2
2
00
2
2
dx dx
sin
x
f
dt dt
t
+
γ+ω= ω. (9.32)
Опыт говорит, что колебание будет происходить с частотой вынуж-
дающей силы, поэтому решение уравнения будем искать в виде
(
)
(
)
sinxt A t
=
ω+α. (9.33)
В отличие от свободных колебаний величина амплитуды
A
и на-
чальной фазы
при вынужденных колебаниях определяется не из на-
чальных условий, а зависит от амплитуды и фазы вынуждающей силы.
Подставив выражения для скорости
α
cos( )
dx
At
dt
=
ωω+α и ускорения
2
2
2
sin( )
dx
At
dt
=− ω ω +α
колеблющейся точки в уравнение (9.32), получим
(
)
(
)
(
)
22
00
sin 2 cos sin sin
A
tAtAtf−ω ω+α+γω ω+α+ω ω+α= ωt.
Или
(
)
()
22
0
0
sin cos cos sin
2coscossinsin sin
ttAA
.
ttft
⎡
⎤
ωα+ωαω−ω+
⎣
⎦
γω ω α− ω α= ω
(9.34)
В (9.34) сгруппируем слагаемые с множителями
cos t
ω
и sin tω
(
)
()
{}
22
0
22
00
sin 2 cos cos
cos 2 sin sin 0.
At
Af
⎡⎤
ω−ω α+ γω α ω+
⎣⎦
⎡⎤
ω−ω α− γω α− ω=
⎣⎦
t
(9.35)
Мы получили уравнение вида
12
cos sin 0ctct
ω
+ω=, (9.36)
где
(
)
22
10
sin 2 coscA
⎡⎤
=ω−ω α+γωα
⎣⎦
,
(
)
22
20
cos 2 sincA f
⎡⎤
0
=
ω−ω α− γω α−
⎣⎦
.
Для того чтобы такое уравнение выполнялось для любого момента
времени, необходимо, чтобы
1
0c
=
,
2
0c
=
.
Таким образом, уравнение (9.36) распадается на систему двух связан-
ных уравнений вида
(
)
()
22
0
22
00
sin 2 cos 0,
cos 2 sin .
A
A
f
⎧
⎡⎤
ω
−ω α+ γω α =
⎪⎣ ⎦
⎨
⎡⎤
ω
−ω α− γω α =
⎪
⎣⎦
⎩
(9.37)
Из первого уравнения найдем
2
0
2
tg
γω
α=−
2
ω
−ω
. (9.38)
Для нахождения амплитуды
A
возведем оба уравнения системы (9.37)
в квадрат
81

Страницы