Физика. Электромагнитные колебания. Квантовая теория излучения. Иваницкая Ж.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

Обозначая знакомый нам квадрат собственной частоты
23
)
1
LC
=(
2
0
ω
и ,2
γ
=
L
R
где
γ
– коэффициент затухания ),
2L
R
(γ =
окончательно имеем:
.02
2
0
=++ q
dt
dq
γ
ω
2
2
dt
qd
(3.12)
Уравнение (3.12) – это однородное дифференциальное
уравнение второго порядка. Решение его ищем в виде функции
q(t) = Z(t)
⋅
e
–
γ
t
, (3.13)
где е – основание натурального логарифма, а Z(t)
необходимо
найти подстановкой уравнения (3.13), а также
dt
dq
и
2
2
dt
qd
в уравнение (3.12).
Не посчитаем за труд взять производные заряда по времени:
первую –
;
γtγt
γZee
dt
dZ
−−
−=
dt
dq
(3.14)
вторую –
=+
−− γtγt
Zeγe
dt
dZ
2
−−=
−− γtγt
γe
dt
dZ
γe
dt
Zd
dt
qd
2
2
2
2
.
2 γtγt
Zeγe
dt
dZ
γ
−−
+2
2
2
γt
e
dt
Zd
−
−=
(3.15)
Подставим формулы (3.13), (3.14), (3.15) в уравнение (3.12)
и сократим на е
–
γ
t
, тогда
.02
2
0
2
=+− ZZγ
ω
22
2
2
2
++−
dt
dZ
γZγ
dt
dZ
γ
dt
Zd
После приведения подобных членов имеем дифференци-
альное уравнение для нахождения Z(t):
()
.0
22
0
=−+ Zγ
ω
2
2
dt
Zd
(3.16)
22
0
γ−=
ωω
Обозначая как циклическую частоту реаль-
ных колебаний, видим, что они происходят с частотой меньше
собственной, так как на сопротивлении теряется часть энергии. 
    Обозначая знакомый нам квадрат собственной частоты
       1     R                                         R
(ω =
  2
  0      ) и = 2γ , где γ – коэффициент затухания (γ =    ),
      LC     L                                         2L
окончательно имеем:
                      d 2q      dq
                         2
                           + 2γ    + ω02 q = 0.                 (3.12)
                      dt        dt
    Уравнение (3.12) – это однородное дифференциальное
уравнение второго порядка. Решение его ищем в виде функции
                          q(t) = Z(t) ⋅ e–γ t,                  (3.13)
где е – основание натурального логарифма, а Z(t) необходимо
                                                           2
найти подстановкой уравнения (3.13), а также dq и d q
                                                   dt    dt 2
в уравнение (3.12).
    Не посчитаем за труд взять производные заряда по времени:
                         dq dZ − γt
первую –                   =   e − γZe − γt ;                   (3.14)
                         dt dt
               d 2 q d 2 Z − γt dZ − γt dZ − γt
вторую –           2
                     = 2 e −γ      e −γ    e + γ 2 Ze − γt =
               dt     dt        dt      dt
                     d 2 Z − γt   dZ − γt
                 =       2
                           e − 2γ    e + γ 2 Ze − γt .          (3.15)
                     dt           dt
    Подставим формулы (3.13), (3.14), (3.15) в уравнение (3.12)
и сократим на е–γ t, тогда
           d 2Z      dZ              dZ
              2
                − 2γ    + γ 2 Z + 2γ    − 2γ 2 Z + ω02 Z = 0.
           dt        dt              dt
    После приведения подобных членов имеем дифференци-
альное уравнение для нахождения Z(t):
                        d 2Z
                        dt 2
                               (          )
                             + ω02 − γ 2 Z = 0.                 (3.16)

    Обозначая ω = ω02 − γ 2 как циклическую частоту реаль-
ных колебаний, видим, что они происходят с частотой меньше
собственной, так как на сопротивлении теряется часть энергии.
                                    23

Страницы