Компьютерное моделирование в стохастических задачах хрупкого разрушения. Иванищева О.И. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
щения 4 вводятся лишь для того, чтобы обосновать применение
предельных теорем теории вероятностей и переход к асимптотическим
распределениям. Экспериментальным основанием для этих допущений
могут служить наблюдения над процессом последовательного разрыва
волокон в механических моделях однонаправленных композитов .
Рассмотрим критический объем
0
V
, содержащий N структурных элемен-
тов. Функция распределения
()
Fs
может быть истолкована как вероятность
разрушения наугад взятого структурного элемента при номинальном на-
пряжении
σ
, не превышающем 5. Отсюда вероятность события , состоящего
в том , что из N элементов будет разрушено не менее чем п элементов,
определяется как
0
()[1()]
n
nkkNk
NN
k
PCFsFs
−
=
=−
∑
Здесь
k
N
C
- биноминальные коэффициенты . При не очень малых
n
для
приближенной оценки вероятности (5.3.1) используем центральную пре-
дельную теорему. Для меры микроповреждений
/
nN
ψ
=
получим асимп-
тотическое распределение вероятности:
),(
σ
ϕ
F
∼
[]
−
−
Φ
−
2
1
1
1
))()((
)(
NFF
F
σσ
σϕ
, (5.3.2)
где Ф (и ) — функция нормированного распределения Гаусса, т.е.
2
1/2
1
()exp
2
(2)
u
z
udz
π
−∞

Φ=−


∫
.
Из формулы (5.3.2) видно, что математическое ожидание меры повреж -
дения
[
]
()
E
ψσ
и коэффициент вариации этой меры
()
w
ψ
σ
асимптотически
выражаются через функцию распределения
()
Fs
и число первичных
элементов N следующим образом :
[
]
)( σϕ E
∼
)(
σ
F
)( σ
ϕ
w ∼
2
1
1
−
)(
)(
σ
σ
NF
F
. (5.3.3) 
                                      36
щения 4 вводятся лишь для того,         чтобы обосновать применение
предельных теорем теории вероятностей и переход к асимптотическим
распределениям. Экспериментальным основанием для этих допущений
могут служить наблюдения над процессом последовательного разрыва
волокон в механических моделях однонаправленных композитов.
  Рассмотрим критический объем V0 , содержащий N структурных элемен-
тов. Функция распределения F (s ) может быть истолкована как вероятность

разрушения наугад взятого структурного элемента при номинальном на-
пряжении σ , не превышающем 5. Отсюда вероятность события, состоящего
в том, что из N элементов будет разрушено не менее чем п элементов,
определяется как
                          n
                 PNn   =∑ C Nk F k ( s )[1 −F ( s )] N −k .                      (5.3.1)
                         k =0
  Здесь C Nk - биноминальные коэффициенты. При не очень малых n для
приближенной оценки вероятности (5.3.1) используем центральную пре-
дельную теорему. Для меры микроповреждений ψ =n / N получим асимп-
тотическое распределение вероятности:
                                �                                    �
                                �          ϕ −F ( σ )                �
             F ( ϕ , σ ) ∼Φ �                                        � ,         (5.3.2)
                                �� ( F ( σ )[1 −F ( σ )]N
                                                            −1
                                                                 )1 �
                                                                   2�

  где Ф (и) — функция нормированного распределения Гаусса, т.е.

                                        1
                                                u
                                                       � z 2�
                                     (2π )1/ 2 −∫
                              Φ(u ) =             exp � − � dz .
                                                ∞       � 2�

  Из формулы (5.3.2) видно, что математическое ожидание меры повреж-
дения E [ψ (σ )] и коэффициент вариации этой меры wψ (σ ) асимптотически
выражаются через функцию распределения F ( s) и число первичных
элементов N следующим образом:
                                                                         1
                                                  � 1− F ( σ ) �
         E [ϕ ( σ )]∼F ( σ )
                                                                         2
                                        wϕ (σ ) ∼�               �           .   (5.3.3)
                                                   � NF ( σ ) �

Страницы