Расчет конструкций за пределами упругости. Иванищева О.И - 15 стр.

                                                   15

                        3. Расчет несущей способности пластин и оболочек

             3.1. Пример расчета сферической оболочки кинематическим и
                                статическим методами

         Рассмотрим заделанный сферический колпачок, подвергнутый
   равномерно распределенному давлению (рис. 3.1). Предположим, что
   интенсивность заданного давления равна единице. В этом случае множитель λ ,
   границы которого определяются по основной теореме предельного равновесия,
   будет представлять критическое давление, при котором начнутся деформации
   пластически-жесткой оболочки. Чтобы получить верхнюю и нижнюю границы
   для этого критического давления, рассмотрим поле скорости.

                                        V =0,           W =cos ϕ 0 −cos ϕ       (3.1.1).

                                   Здесь    V и       W – составляющие скорости
                                  соответственно в направлении медианы и нормали к
                                  оболочке.
                                   Вектор скорости направлен вдоль внешней нормали к
                                  сфере, он обращается в нуль на опоре и имеет
                                  интенсивность, равную 1 −cos ϕ0 в полюсе. Поле
                                  скорости (3.1.1) не удовлетворяет условию заделки:
                                  W ′ =0 при ϕ =ϕ0 . Это означает, что параллель ϕ =ϕ0
                                  следует рассматривать как шарнирную окружность.
                                  Используя известные формулы          [3] для главных
                                 скоростей    удлинений     и    кривизн      срединной
Рис. 3.1. Сферический            поверхности, а также выражения (3.1.1), получим
колпачок .
                                 следующие зависимости:

                                      1
                             εϕ =εθ =   (cosϕ −cos ϕ 0 ).                       (3.1.2)
                                      R
                                          1
                             χ ϕ =χθ =− 2 cos ϕ .                               (3.1.3)
                                         R


   Здесь εϕ и εθ - главные скорости удлинений в серединной поверхности
   оболочки, в меридианальном и окружном направлениях соответственно;
   χ ϕ , χ θ - главные скорости кривизн срединной поверхности. Пользуясь
   равенствами (2.3.3), найдем

                                          R cos ϕ −cos ϕ 0
                              p =q =r =                                         (3.1.4)
                                          h      cos ϕ