Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 14 стр.

                                                       14

                                  ε =s    σ                          (2.2.6)
                                   ij ijmn mn
    Вследствие стохастической неоднородности среды тензоры модулей
упругости σ ij и коэффициентов податливости εij являются случайными
функциями координат.
     Подставив (2.2.5) в (2.2.3) или (2.2.6) в (2.2.4), приходим к формулировке
задачи в перемещениях

                                  (λ    u ) =0                     (2.2.7)
                                    ijmn mn , j
     или напряжениях
                             ω ω (s       σ )     =0 .          (2.2.8)
                              imn jkl nlpq pq ,mk

     Определяя из уравнений (2.2.7) или (2.2.8) напряжения как функции
средних деформаций или деформации как функции средних напряжений и
осредняя их по объему тела, получим соотношения (2.2.1) или (2.2.2).
     Описанная процедура , в принципе, может быть осуществлена для тела
произвольных размеров по отношению к размерам микронеоднородностей.
Однако, в действительности она связана с большими математическими
трудностями и практически осуществима для слоистой структуры композита
      Если     размеры      тела    значительно     превосходят      размеры
микронеоднородностей, то область, занимаемую телом, можно рассматривать
как бесконечную. В этом случае при воздействии однородной нагрузки
случайные поля напряжений и деформаций статистически однородны и
удовлетворяют свойству эргодичности , что позволяет заменить осреднение по
объему статиcтическим осреднением по ансамблю реализаций. Тогда тензоры
макроскопических модулей упругости и коэффициентов податливости
определяются формулами

                       σ          =λ* ε                           (2.2.9)
                           i, j     ijlm mn

                       εi , j =s*ijmn σ mn
                                                        .
    Из соотношений (2.2.5), (2.2.6) находим
                                         σ ij     = λijmnεmn

                                  ε ij          = s ijmn σ mn
                                                           (2.2.10)
    откуда следует, что для определения макроскопических упругих
постоянных необходимо на основе уравнений (2.2.7) ,(2.2.8)     найти
одноточечные моменты    λijmnεmn , sijmnσ mn как функции средних
напряжений σ i , j .
     Методы решения уравнений (2.2.7) , (2.2.8) идентичны , поэтому
достаточно изложить их сущность для одного из уравнений. Рассмотрим