Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()()
()
()
()
()
()
()()
()
()
()
∫
∫
∫
⋅⋅⋅−+
+⋅−
=
=⋅⋅−
dsnxxxG
dvxxxG
dxxxxG
k
221
j,im
2221
kj,im
2221
ijmn
φ
φ
φ
(2.2.17)
Здесь S – бесконечно удаленная граница области
v
, занимаемой телом,
k
n
- направляющие косинусы нормали к поверхности
S
.Таким образом, задача об
определении макроскопических упругих постоянных к определению из
интегрального уравнения (2.2.17) моментов
mnijmn
ελ как функций средних
деформаций
mn
ε
.
Для сокращения выкладок при изложении методов решения задачи
воспользуемся символьной записью , представив соотношения (2.2.10), (2.2.1) и
интегральное уравнение (2.2.16) соответственно, в форме
ε
λ
σ
=
(2.2.18)
ελσ ⋅=
*
(2.2.19)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2c2211
xxG ελλεε ⋅−⋅−+= . (2.2.20)
Здесь индексы в круглых скобках веху обозначают точку , в которой
рассматривается значение функций.
2.3.Корреляционное приближение в задаче о макроскопических
постоянных
Основная трудность в решении уравнения (2.2.20) связана с его
статистической нелинейностью , обусловленной наличием произведения
случайных функций. Это приводит к необходимости решения бесконечной
последовательности уравнений относительно моментных или случайных
функций.
Рассмотрим процесс построения решения задачи о макроскопических
постоянных.
Для определения макроскопических постоянных необходимо найти
одноточечный момент второго порядка
λε
как функцию
ε
. С этой целью
умножим уравнение (1.20) на тензор модулей упругости
(
)
1
λ
и проведем
статистическое осреднение. В результате получим выражение
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2c2121
xxG ελλλελελ ⋅−⋅⋅−+⋅=⋅
, (2.3.1) 
                                                 16



            ( (1) −x (2 ) )⋅φ(x (2 ) )⋅dx (2 ) =
     ∫Gijmn x

                   Gm(i , j )k (x (1) −x (2 ) )φ(x (2 ) )⋅ dv (2 ) +                  (2.2.17)
                 =∫
                                   +∫Gm(i , j ) (x (1) −x (2 ) )⋅φ(x (2 ) )⋅ n k ⋅ ds

     Здесь S – бесконечно удаленная граница области v , занимаемой телом, n k
- направляющие косинусы нормали к поверхности S .Таким образом, задача об
определении макроскопических упругих постоянных к определению из
интегрального уравнения (2.2.17) моментов λ ijmn εmn как функций средних
деформаций εmn .
     Для сокращения выкладок при изложении методов решения задачи
воспользуемся символьной записью, представив соотношения (2.2.10), (2.2.1) и
интегральное уравнение (2.2.16) соответственно, в форме

                                   σ =λ ⋅ ε                                         (2.2.18)

                                  σ =λ* ⋅ ε                                         (2.2.19)

                             (              )(
            ε (1) = ε +G x (1) −x (2 ) ⋅ λ(2 ) −λc ⋅ ε (2 ))             .           (2.2.20)

    Здесь индексы в круглых скобках веху обозначают точку, в которой
рассматривается значение функций.

       2.3.Корреляционное приближение в задаче о макроскопических
постоянных
     Основная трудность в решении уравнения (2.2.20) связана с его
статистической нелинейностью, обусловленной наличием произведения
случайных функций. Это приводит к необходимости решения бесконечной
последовательности уравнений относительно моментных или случайных
функций.
     Рассмотрим процесс построения решения задачи о макроскопических
постоянных.
       Для определения макроскопических постоянных необходимо найти
одноточечный момент второго порядка λε как функцию ε . С этой целью
умножим уравнение (1.20) на тензор модулей упругости λ
                                                                             (1) и проведем
статистическое осреднение. В результате получим выражение

                              (              )         (
       λ ⋅ ε = λ ⋅ ε +G x (1) −x (2 ) ⋅ λ(1) ⋅ λ(2 ) −λc ⋅ ε (2 ) , )                   (2.3.1)

Страницы