Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
которое содержит неизвестный двухточечный момент третьего порядка .
Для его определения поменяем в уравнении (2.2.20) точки
(
)
(
)
21
x,x
соответственно на
(
)
(
)
32
x,x и , умножив его на выражение
(
)
(
)
(
)
c21
λλλ − ,
проведем статистическое осреднение. В результате имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()()
()
()()
()
()
()
()
3
c3c2132
c212c21
xxG ελλλλλ
ελλλελλλ
⋅−⋅−⋅−⋅+
+⋅−⋅=⋅−⋅
(2.3.1)
Выражение (2.1) содержит новый неизвестный трехточечный момент
четвертого порядка
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3c3c21
ελλλλλ −− . Продолжив это процесс,
получим бесконечную систему уравнений относительно неизвестных моментов
различных порядков и типов . При этом возникает проблема замыкания,
характерная для статистически нелинейных задач.
Если ограничиться рамками корреляционного приближения, то для
смешанного одноточечного момента получаем следующее выражение
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c2121
xxG λλλλλε −−+= , (2.3.2)
откуда находим тензор макроскопических модулей упругости
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c2121
*
xxG λλλλλ −−+= . (2.3.3)
Вычисление макроскопических постоянных в корреляционном
приближении приводит к результатам, близким к действительным значениям
лишь для слабо неоднородных материалов , когда флуктуации модулей
достаточно малы .
В реальных композиционных материалах различие упругих
характеристик компонентов может быть весьма существенным. Поэтому
вычисление макроскопических постоянных в корреляционном приближении
может приводить к заведомо неверным результатам.
Рассмотрим оценки флуктуаций на примере двухкомпонентного
материала.
Отношение среднеквадратического отклонения тензора модулей
упругости к его математическому ожиданию можно представить в виде
(
)
2211
2121
02
сс
сс
λλ
λλ
λ
λ
+
−
= (2.3.4)
Здесь
1
1
,с
λ
и
2
2
,с
λ
- объемные концентрации и модули упругости
соответственно первого и второго компонентов .
Очевидно, что флуктуации будут малы всегда, если модули компонентов
мало отличаются друг от друга. 
                                                    17

которое содержит неизвестный двухточечный момент третьего порядка.
     Для его определения поменяем в уравнении (2.2.20) точки    x (1) , x (2 )
                   (2 ) (3 ) и, умножив его на выражение λ(1) λ(2 ) −λc ,
соответственно на x , x                                                            (             )
проведем статистическое осреднение. В результате имеем

                  (            )                 (
            λ(1) ⋅ λ(2 ) −λc ⋅ε (2 ) = λ(1) ⋅ λ(2 ) −λc ⋅ ε + )
           +G ⋅ (x (2 ) −x (3 ) )⋅ λ(1) (λ(2 ) −λc )⋅ (λ(3 ) −λc )⋅ε
                                                                            (3 )       (2.3.1)


     Выражение        (2.1) содержит новый неизвестный трехточечный момент
четвертого порядка           (                 )(        )
                        λ(1) λ(2 ) −λc λ(3 ) −λc ε (3 ) . Продолжив это процесс,
получим бесконечную систему уравнений относительно неизвестных моментов
различных порядков и типов. При этом возникает проблема замыкания,
характерная для статистически нелинейных задач.
     Если ограничиться рамками корреляционного приближения, то для
смешанного одноточечного момента получаем следующее выражение

                         (             (            ) (
                 λε = λ +G x (1) −x (2 ) λ(1) λ(2 ) −λc                ))    ,         (2.3.2)
откуда находим тензор макроскопических модулей упругости

                                   (                ) (
                λ * = λ +G x (1) −x (2 ) λ(1) λ(2 ) −λc            )    .              (2.3.3)

    Вычисление      макроскопических   постоянных   в    корреляционном
приближении приводит к результатам, близким к действительным значениям
лишь для слабо неоднородных материалов, когда флуктуации модулей
достаточно малы.
     В     реальных    композиционных    материалах  различие     упругих
характеристик компонентов может быть весьма существенным. Поэтому
вычисление макроскопических постоянных в корреляционном приближении
может приводить к заведомо неверным результатам.
      Рассмотрим оценки флуктуаций на примере двухкомпонентного
материала.
     Отношение среднеквадратического отклонения тензора модулей
упругости к его математическому ожиданию можно представить в виде
                                 λ02
                                           =
                                               (λ −λ ) с с
                                                1   2        1 2
                                                                                       (2.3.4)
                           λ        λ1с1 +λ2 с2
    Здесь    с1 ,λ1 и с2 ,λ2 - объемные концентрации и модули упругости
соответственно первого и второго компонентов.
    Очевидно, что флуктуации будут малы всегда, если модули компонентов
мало отличаются друг от друга.

Страницы