Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
уравнение равновесия в перемещениях (2.2.7).Принимая во внимание
представление
Принимая во внимание представление
0
j
jiji
uxu += ε , (2.2.11)
имеющее место при однородном нагружении тела, записываем уравнение
(2.2.7) в виде
(
)
(
)
j,
mn
c
ijmnijmn
0
nj,m
c
ijlm
u ελλλ −−=
. (2.2.12)
Здесь
0
u
- флуктуации перемещений;
ijmn
λ
-некоторый тензор модулей
упругости с постоянными компонентами .
Вследствие статистической однородности напряжений
ij
σ и деформаций
ij
ε математические ожидания напряжений и деформаций постоянны .
Поэтому регулярная составляющая перемещений
jij
xε
(2.2.11) на
бесконечности неограниченно возрастает, тогда как случайная составляющая
0
j
u
ограничена . Это дает возможность принять , что на бесконечно удаленной
поверхности , ограничивающей область , флуктуации перемещений равны нулю
0u
0
j
=
∞
(2.2.13)
Воспользуемся формулой Грина
ij
G оператора левой части уравнения
(2.2.71), удовлетворяющей уравнению
(
)
x)x(G
iknj,mk
c
ijmn
δδλ −= , (2.2.14)
где
(
)
xδ - дельта - функция Дирака ,
ik
δ
- дельта –функция Кронекера.
Тогда решение уравнения (2.2.73) можно представить в виде
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
k,
mn
c
kmnkmn
21
i
1o
i
dvxxGxu ελλ
ααα
−−=
∫
. (2.2.15)
Дифференцируя выражение (2.2.74) и проведя интегрирование по частям,
получим интегральное уравнение относительно деформаций
(
)
(
)
()()
()
()
()()
()
()
()
22c
mn
2
mn
21
ijmn
ij
1
ij
dxxxxxG
x
⋅⋅−⋅−+
+=
∫
αβαβαβ
ελλ
εε
, (2.2.16)
где интегральный оператор определяется правилом 
                                                  15

уравнение равновесия         в    перемещениях (2.2.7).Принимая              во   внимание
представление

    Принимая во внимание представление
                          ui = εij x j +u j 0 ,                                   (2.2.11)
     имеющее место при однородном нагружении тела, записываем уравнение
(2.2.7) в виде


                     λijlm cum
                             0
                                         ((   c
                               ,nj =− λijmn −λijmn εmn  ) ), j .                   (2.2.12)
            0
    Здесь u - флуктуации перемещений; λijmn -некоторый тензор модулей
упругости с постоянными компонентами.
    Вследствие статистической однородности напряжений σ ij и деформаций
εij математические ожидания напряжений и деформаций постоянны.
       Поэтому регулярная составляющая перемещений                  εij x j (2.2.11) на
бесконечности неограниченно возрастает, тогда как случайная составляющая
u j ограничена. Это дает возможность принять, что на бесконечно удаленной
   0


поверхности, ограничивающей область, флуктуации перемещений равны нулю
                                         0
                                    uj       ∞   =0                                 (2.2.13)
     Воспользуемся формулой Грина Gij оператора левой части уравнения
(2.2.71), удовлетворяющей уравнению

                                                       ()
                         λcijmn Gmk ,nj ( x ) =−δik δ x ,                           (2.2.14)

         ()
    где δ x - дельта-функция Дирака, δik - дельта –функция Кронекера.
     Тогда решение уравнения (2.2.73) можно представить в виде

          ( )            (               )((
        uio x (1) =∫Giα x (1) −x (2 ) λαkmn −λαc kmn εmn    ) ),k dv 2   .          (2.2.15)

    Дифференцируя выражение (2.2.74) и проведя интегрирование по частям,
получим интегральное уравнение относительно деформаций

        ( )
     εij x (1) = εij +

                (            )(          ( )            )       ( )
                                                                                  , (2.2.16)
     +∫Gijmn    x (1) −x (2 ) ⋅ λmnαβ x (2 ) −λcmnαβ ⋅ εαβ x (2 ) ⋅ dx (2 )

    где интегральный оператор определяется правилом

Страницы