Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 19 стр.

                                                          19

    Из (2.4.2) и (2.4.1) с учетом только одноточечных моментов, следует
                                                                         n
бесконечная система уравнений относительно неизвестных λ ⋅ ε

                                                  (
          λn ⋅ ε = λn ⋅ ε +G (0 ) ⋅ λn+1 ⋅ ε −λc ⋅ λn ⋅ ε +              )
                           (                              )
                                                                                  (2.4.3)
         +G (∞) ⋅ λ ⋅ λ ⋅ ε −λ ⋅ ε
                       n                  c

       В случае кусочно-однородных тел решение бесконечной системы
уравнений (2.4.3) можно упростить с помощью дополнительных соотношений,
следующих из общеизвестных свойств совместной плотности распределения
случайных величин.
     Рассмотрим этот подход для двухкомпонентного материала. В этом
случае совместную одноточечную плотность распределения модулей упругости
и деформаций можно записать в виде

                               f ( λ ⋅ ε ) = f 1 ( λ ) ⋅ϕ (ε λ ),                 (2.4.4)
         (     )
    где ϕ ε λ - условная плотность распределения деформаций, f 1 ( λ ) -
    плотность распределения модулей упругости, которая выражается через
упругие характеристики и концентрации компонент следующим образом

                   f 1 ( λ ) =c1 ⋅δ (λ −λ1 ) +c 2 ⋅ δ (λ −λ2 )                     (2.4.5)

         Пользуясь представлениями (2.4.4), (2.4.5), можно получить
                                 2
                            ε = ∑ ci ⋅ εi                                          (2.4.6)
                               i =1
                                    2
                        λn ⋅ ε = ∑ ci ⋅ λin ⋅ εi
                                   i =1
    откуда следуют зависимости между моментами                    λk ε , λn ⋅ ε
    различных порядков

    (λ1k −λk2 )⋅ λn ⋅ε −(λ1n −λn2 )⋅ λk ⋅ε =(λ1k ⋅ λn2 −λ1n ⋅ λk2 )⋅ ε            (2.4.7)


     Для определения момента                  λε достаточно взять первое уравнение
системы (2.4.3)
                                                      (
              λ ⋅ ε = λ ⋅ ε +G (0 ) ⋅ λ2 ⋅ ε −λc λ ⋅ ε +             )            (2.4.8)
                               (
              +G (∞) ⋅ λ ⋅ λε −λ ⋅ ε          c
                                                              )
    и соотношение (2.4.7) при n =2 и k =1