Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
∑
=
=
n
1
k
kkk
c ελσ . (2.5.2)
Отсюда следует, что для определения макроскопических упругих
постоянных необходимо найти средние деформации компонентов как функции
средних средних деформаций всего тела
ε
.
Умножим (2.2.20) на
(
)
)1()2()2()1(
,,f νλεε -условную плотность
распределения деформаций в точках
)2()1(
x,x и модулей упругости в точке
)2(
x
при условии , что в точке
)1(
x
находится компонент
,
и проведем
осреднение. В результате получим систему
уравнений
(
)
(
)
(
)
)1(
)2(
k
)2(c
k
n
1
k
)1(
)2(
k
)2()1(
,fxxG νελλεε
νν
⋅−⋅−+=
∑
=
, (2.5.3)
n
,...
2
,
1
=
ν
,
где
(
)
)1(
)2(
k
f
ν
- вероятность нахождения в точке
)2(
x
компонента
k
при
условии, что в точке
)1(
x
находится компонент
;
)1(
)2(
k
)2(
,
ν
ε⋅
-
математическое ожидание тензора деформаций в точке
)2(
x
при условии, что в
ней находится компонент
k
, а в точке
)1(
x
находится компонент
ν
.
В уравнения (2.5.3) вошли неизвестные условные двухточечные
моменты
)1(
)2(
k
)2(
,
ν
ε⋅
. Для их определения умножим уравнение (2.2.20) на
условную плотность ),,,(f
3
)1(
k
)2()2()1(
ν
λεε и проведем осреднение. Тогда
получим
.n...2,1,k,,,)
(),(f)xx(G,
)3(
)1(
k
)2(
r
)2(
c
n
1r
r
)3(
)1(
k
)2(
r
)2()1()3(
)1(
k
)1(
=⋅−
−⋅⋅−+=
∑
=
νελ
λεε
ν
νν
(2.5.4)
Продолжая этот процесс, получим бесконечную систему уравнений
относительно неизвестных условных моментов
,...,...,,,...,,
)i()2()1(
)1(
)2()1(
)1(
i2121
1
ννννν
ν
εεε (2.5.5)
n,...,2,1,
,...21
=
ν
ν
Замыкание полученной системы может быть осуществлено путем обрыва
процесса на некотором шаге. Здесь , в частности , возможны варианты 
                                                                            22

                                                                 n
                                                     σ = ∑ c k λk εk                   .                                       (2.5.2)
                                                             k =1
    Отсюда следует, что для определения макроскопических упругих
постоянных необходимо найти средние деформации компонентов как функции
средних средних деформаций всего тела ε .
      Умножим (2.2.20) на f ε                          (   (1)
                                                                                               )
                                                                 ,ε ( 2 ) , λ( 2 ) ν ( 1 ) -условную                    плотность
                                                                     (1)
распределения деформаций в точках x          , x ( 2 ) и модулей упругости в точке
x ( 2 ) при условии , что в точке x ( 1 ) находится компонент ν , и проведем
осреднение.                         В                      результате                          получим                     систему
уравнений
                        (
εν = ε +G x ( 1 ) −x ( 2 ) ⋅ ∑ f               ) kn=1 ((k2 ) ν( 1 ) )(λk −λc )⋅ ε( 2 ) (k2 ) ,ν ( 1 )                     , (2.5.3)
                                                             ν =1,2 ,...n ,
где f k   (
          ( 2 ) (1)
                ν      ) - вероятность нахождения в точке                                          x ( 2 ) компонента k при
                                               (1)                                                           ( 2 ) ( 2 ) (1)
условии, что в точке x                                находится компонент ν ; ⋅ ε                                  k ,ν                  -
                                                                                                       (2)
математическое ожидание тензора деформаций в точке x при условии, что в
                                       (1)
ней находится компонент k , а в точке x находится компонент ν .
     В уравнения (2.5.3) вошли неизвестные        условные двухточечные
                    ( 2 ) ( 2 ) (1)
моменты ⋅ ε               k ,ν      . Для их определения умножим уравнение (2.2.20) на
                                               (1)                      (1) 3
условную плотность f ( ε                             ,ε ( 2 ) ,λ( 2 )   k ,ν         ) и проведем осреднение. Тогда
получим

          (1) ( 3 )                                                     n                  (1) ( 3 )
 ε( 1 )   k ,ν          = ε +G( x ( 1 ) −x ( 2 ) ) ⋅ ∑ f ( r( 2 )                          k ,ν        ) ⋅( λr −
                                                                     r =1                                            (2.5.4)
      c
−λ        )⋅   ε ( 2 ) (r 2 ) ,(k1 ) ,ν( 3 )    , k ,ν =1,2...n.
     Продолжая этот процесс, получим бесконечную систему уравнений
относительно неизвестных условных моментов
                  εν1 , ε ( 1 ) ν( 1 ) ,ν( 2 ) ,... ε ( 1 ) ν( 1 ) ,ν( 2 ) ,...,ν( i ) ,...                                    (2.5.5)
                                        1       2                       1        2         i


                                                ν 1 ,ν 2 ,... =1,2 ,..., n
    Замыкание полученной системы может быть осуществлено путем обрыва
процесса на некотором шаге. Здесь, в частности, возможны варианты

Страницы