Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 25 стр.

                                                25

                q j =−a jk Θ ,k     j , k =1,2 ,3              (3.1.1)
    Уравнение баланса тепла в условиях стационарной теплопроводности и
отсутствия внутренних источников тепла имеет вид
                             q j , j =0 .                      (3.1.2)
    Задача состоит в том, чтобы при известных статистических
характеристиках случайного поля тензора теплопроводности aij определить
                                                       ∗
макроскопический тензор теплопроводности aij .
    Предположим, что композиционный материал находится в таких условиях
неравномерного стационарного нагрева, при которых случайные поля тепловых
потоков q j и  градиентов    температуры     Θ , j являются статистически
однородными. В этом случае их можно считать эргодическими, т.е. средние по
статистическому ансамблю тепловые потоки q j и градиенты температуры
Θ , j равны соответствующим средним по объему:
                           1                       1
                q j = lim    ∫q j dv ; Θ , j = lim ∫Θ , j dv .             (3.1.3)
                      v→ ∞ v                  v→ ∞ v
    Зависимости между средними тепловыми потоками и градиентами
температуры выражаются законом Фурье
                              qj     =−a ∗jk Θ ,k       j , k =1,2 ,3 ,    (3.1.4)
            ∗
    где aij - макроскопический тензор теплопроводности.
    Представим случайные функции aij , q j ,Θ в виде суммы математических
ожиданий и флуктуаций
                               aij = aij +aij0
                    q j = q j +q 0j        Θ = Θ +Θ 0         .           (3.1.5)
      Тогда из (3.1.1) получаем выражение среднего теплового потока в виде
                   q j =− a jk Θ ,k − a 0jk ⋅Θ ,0k                            (3.1.6)
    Подставляя (3.1.1), (3.1.5) в уравнение баланса тепла (3.1.2), получаем
уравнение теплопроводности относительно флуктуаций температуры
                  a jk Θ ,0jk =−( a 0jk ( Θ ,k +Θ ,0k )), j    .              (3.1.7)
      При этом средняя температура определяется формулой
                                     Θ = Θ, j ⋅ x j .                         (3.1.8)
      т.е. не ограничена на бесконечности, поэтому флуктуации температуры
  0
Θ можно считать пренебрежимо малыми при x → ∞ и дополнить уравнение
(3.1.7) условием на бесконечности
                                        Θ 0 (x ) x→ ∞ → 0.                    (3.1.9)