Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 26 стр.

                                                      26

    Таким     образом,          для      определения                  макроскопического        тензора
                            ∗
теплопроводности      aij           необходимо        найти решение                уравнения    (3.1.7).
                                         0
Подставляя затем градиенты Θ , j в выражение (3.1.6), найдем зависимости
между средним тепловым потоком и средними градиентами температуры
(3.1.4).
     Уравнение (3.1.7) является статистически нелинейным. Оно приводится к
бесконечной последовательности связанных уравнений относительно моментов
различных порядков и типов, решить которую в общем случае не
представляется возможным. Исключение представляет случай слоистой
структуры среды, когда тензор теплопроводности aij является функцией одной
координаты.
     Пусть, например, тензор aij зависит только от координаты x3 . Вследствие
однородности макроскопических тепловых потоков и градиентов температуры
случайные функции q j ,Θ также будут зависеть только от координаты x3 . В
этом случае уравнение (3.1.7) легко интегрируется, в результате чего имеем
                           � 1                −1           �
                    Θ ,k =�                           −1� ⋅ Θ ,3 ⋅δk 3 .
                      0             1
                                                                                               (3.1.10)
                            � a 33 a 33                  �
                             �                             �
    Подставляя (3.1.10) в (3.1.6), получим зависимости между средними
тепловыми потоками и градиентами температуры
            �       � a j3                       −1                   �         �
     qj       �
          =− a jk +�       ⋅
                              1
                                                      − a j3          � ⋅δ � ⋅ Θ .        (3.1.11)
                �    � a33   a33                                       �   k3 �     ,k
                  �   �                                                  �        �
    Отсюда следует, что                макроскопический                   тензор   теплопроводности
определяется выражением
                              � a j3                   −1                 �
                            +�                                 − a j 3 � ⋅ δk 3
                                        1
          a ∗jk   = a jk             ⋅                                                         (3.1.12)
                               � a33   a33                              �
                                �                                         �
    Если слоистый материал составлен из изотропных слоев, т.е. в каждой его
точке тензор aij имеет вид
                            aij =a ⋅δij ,                 (3.1.13)
то макроскопические коэффициенты теплопроводности вдоль слоев и в
поперечном направлении будут, соответственно,
                                                       −1
                                                  1
                    a1∗ =       a        a3∗ =                    .                        (3.1.14)
                                                  a
    Для материалов, имеющих объемные концентрации и коэффициенты
                                        (i)
теплопроводности слоев ci , a , одноточечная плотность распределения
коэффициентов теплопроводности определяется формулой