Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Умножим второе из уравнений (3.1.2), взятое в точке
x
на
)yx(x
0
+
и
проведем статистическое осреднение. Пренебрегая моментами третьего
порядка , т.е. ограничиваясь корреляционным приближением , получаем
дифференциальное уравнение относительно функции
(
)
yS
k,kk,kk,
KSa Θ ⋅−=⋅
(3.1.21)
Поскольку корреляционные связи между рассматриваемыми случайными
функциями , взятыми в различных точках, убывают с увеличением расстояния
между ними , то функции
0
)
x
(
K
),
x
(
→
при
∞
→
x
.
Таким образом, для определения макроскопических коэффициентов
теплопроводности необходимо найти решение уравнения (3.1.21) при нулевых
условиях на бесконечности и подставить его в (3.1.20).
В случае слоистой структуры материала, когда коэффициент
теплопроводности является случайной функцией одной переменной ,
корреляционные функции
)
x
(
K
),
x
(
будут зависеть только от
координаты
3
y . Выражение (3.1.20) примет вид
3j3,
j,
j
)0(Saq δΘ ⋅−−= , (3.1.22)
а дифференциальное уравнение (3.1.21) становится обыкновенным
3,3,33,
KSa Θ−= . (3.1.23)
Интегрируя его, находим
3,3,
a
)0(K
)0(S Θ ⋅−= . (3.1.24)
Теперь из (3.1.22), (3.1.24) получаются зависимости между средними
тепловыми потоками и градиентами температуры
j,1j
aq Θ ⋅−=
∗
;
3,13
aq Θ ⋅−=
∗
(
2
,
1
j
=
) , (3.1.25)
где макроскопические коэффициенты теплопроводности имеют вид
aa
1
=
∗
,
a
)0(K
aa
3
−=
∗
. (3.1.26)
Если материал составлен из двух компонентов с объемными
концентрациями и коэффициентами теплопроводности
)2(
2
)1(
1
a,c,a,c
соответственно, то , пользуясь плотностью распределения (3.1.15) и
соотношениями (3.1.26), получаем
)2(
2
)1(
1
1
acaca +=
∗
;
=
)
0
(
K
2)2()1(
2
1
)aa(cc −
. (3.1.27)
Точные решения (3.1.17) для двухкомпонентной слоистой среды можно
представить следующим образом:
aa
1
=
∗
,
)3(
12
3
a)cc(a
)0(K
aa
⋅−−
−=
∗
. (3.1.28) 
                                                  28


    Умножим второе из уравнений (3.1.2), взятое в точке x на x 0 ( x +y ) и
проведем статистическое осреднение. Пренебрегая моментами третьего
порядка, т.е. ограничиваясь корреляционным приближением, получаем
дифференциальное уравнение относительно функции S ( y )
                          a ⋅ S ,kk =−K ,kk ⋅ Θ ,k             (3.1.21)
    Поскольку корреляционные связи между рассматриваемыми случайными
функциями, взятыми в различных точках, убывают с увеличением расстояния
между ними, то функции S ( x ), K ( x ) → 0 при x → ∞.
    Таким образом, для определения макроскопических коэффициентов
теплопроводности необходимо найти решение уравнения (3.1.21) при нулевых
условиях на бесконечности и подставить его в (3.1.20).
    В случае слоистой структуры материала, когда коэффициент
теплопроводности является случайной функцией одной переменной,
корреляционные функции S ( x ), K ( x ) будут зависеть только от
координаты y 3 . Выражение (3.1.20) примет вид
                              q j =− a Θ , j −S ,3 ( 0 ) ⋅δ j 3 ,                        (3.1.22)

а дифференциальное уравнение (3.1.21) становится обыкновенным

                              a S ,33 =−K ,3 Θ ,3          .                             (3.1.23)
    Интегрируя его, находим
                                         K( 0 )
                            S ,3 ( 0 ) =−       ⋅ Θ ,3 .                                 (3.1.24)
                                          a
    Теперь из (3.1.22), (3.1.24) получаются зависимости между средними
тепловыми потоками и градиентами температуры
                                                    ∗
            q j =−a1∗⋅ Θ , j ; q 3 =−a1 ⋅ Θ ,3 ( j =1,2 ) ,   (3.1.25)
    где макроскопические коэффициенты теплопроводности имеют вид
                                                       K( 0 )
                        a1∗ = a , a3∗ = a −                   .                         (3.1.26)
                                                        a
    Если    материал       составлен       из    двух      компонентов              с   объемными
                                                                              (1)        (2)
концентрациями и коэффициентами теплопроводности c1 , a , c 2 , a
соответственно, то, пользуясь плотностью распределения (3.1.15)                                     и
соотношениями (3.1.26), получаем
        a1∗ =c1 a ( 1 ) +c 2 a ( 2 ) ; K ( 0 ) =c1c 2 ( a ( 1 ) −a ( 2 ) )2
                                                        .    (3.1.27)
    Точные решения (3.1.17) для двухкомпонентной слоистой среды можно
представить следующим образом:
                                                       K( 0 )
               a1∗ = a , a3∗ = a −                                 (3)
                                                                          .              (3.1.28)
                                            a −( c 2 −c1 ) ⋅ a

Страницы