Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 30 стр.

                                                            30

                                          K( 0 )
                                 a∗ = a −        .                      (3.1.35)
                                         3⋅ a
        Рассмотрим однонаправленный волокнистый материал, волокна
которого ориентированы вдоль оси x3 . В этом случае коэффициент
теплопроводности будет случайной функцией координат x1 , x 2 , а второе из
уравнений будет двумерным. Представим его решение в интегральной форме
           ()                   (             )
         S y = Θ ,k ⋅ ∫G y −x ⋅ K ,k x ⋅ d x , k =1,2      ()    (3.1.36)

                      ()
где функция Грина G x имеет вид

                ()                      (          )−2
                       1                               1
            Gx =          ⋅ ln x j x j                     , j =1,2     (3.1.37)
                     4π a

      Для реальных однонаправленных волокнистых материалов характерно
хаотическое расположение волокон, поэтому случайное поле a будут
статистически изотропным в плоскости x1 , x 2 , а его корреляционная функция
зависит только от длины ρ вектора y в плоскости x1 , x2 . Тогда из выражений
(3.1.36), (3.1.37) , находим
                                 Θ ,k          ∞ 2π
                                           dK y j y k
                 S , j (0 ) =          ∫ ∫   ⋅        ⋅ dρ ⋅ dϕ ,        (3.1.38)
                                2π ⋅ a 0 0 dρ ρ 2
    где ϕ – угол в полярной системе координат.
    Пользуясь соотношением
                                    2π      y j ⋅ yk
                                    ∫                  ⋅ dϕ =a ⋅ δ jk    (3.1.39)
                                    0         ρ2
    , получим
                                              K( 0 )
                                S , j ( 0 ) =−       ⋅ Θ,j .             (3.1.40)
                                               2a
    Подставляя (3.1.40) в уравнение (3.1.20), найдем соотношения между
средними тепловыми потоками и градиентами температуры
         q j =−a1∗⋅ Θ , j , q 3 =−a 3 ⋅ Θ ,3 , j =1,2 ,
                                                           ∗
                                                         (3.1.41)
где макроскопические коэффициенты теплопроводности в поперечном и
продольном направлениях относительно волокон имеют вид

                         K( 0 )
                a∗ = a −                                   ∗
                                                   , a3 = a .            (3.1.42)
                        2⋅ a
    Результаты, полученные на основе корреляционной теории, применимы
только для расчета свойств материалов с малыми флуктуациями коэффициента
теплопроводности. Более точные решения, справедливые при больших