Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
Как видим, коэффициент
∗
3
a из (3.1.26), полученный на основе
корреляционного приближения теории случайных функций, представляет
собой первый член разложения точного решения для
∗
3
a в ряд по
степеням
)3(
1
2
a)cc( ⋅− . При равных концентрациях компонентов
2
1
cc
=
решения (3.1.26 ) совпадают с точными .
Рассмотрим общий случай пространственной неоднородности
коэффициента теплопроводности , что соответствует материалам зернистой
структуры , а также композиционным материалам, армированным
искривленными или разнонаправленными волокнами. Решение уравнения
(3.1.18) в этом случае можно представить следующим образом:
(
)
(
)
(
)
∫
⋅⋅−⋅= xdx,KxyGyS
kk,
Θ . (3.1.29)
Здесь функция Грина имеет вид
(
)
x
1
a4
1
xG ⋅
⋅⋅
=
π
(3.1.30)
Если ориентация зерен или волокон имеет хаотический характер, т.е.
равновероятна во всех направлениях, то случайное поле коэффициента
теплопроводности
a
будет статистически изотропным то корреляционная
функция
(
)
yK будет зависеть только от длины пространственного вектора
y . Тогда из выражения (3.1.29) находим
()
∫∫
⋅⋅
⋅
⋅⋅=
∞
Ω
Ω
π
Θ
ddp
p
yy
dp
dK
a4
,
0S
2
kj
0
k
j,
, (3.1.31)
где
Ω
- телесный угол.
Пользуясь соотношением
jk
2
kj
a
3
4
d
p
yy
δΩ
Ω
⋅=⋅
∫
, (3.1.32)
получаем окончательно
j,j,
a3
)0(K
)0(S Θ ⋅
⋅
−= . (3.1.33)
Из (3.1.20) и (3.1.33) следует зависимость между средними тепловыми
потоками и градиентами температуры
jj,
,aq Θ ⋅−=
∗
, (3.1.34)
где макроскопический коэффициент теплопроводности
∗
a
определятся
соотношением 
                                              29

                                         ∗
    Как видим, коэффициент a 3 из (3.1.26), полученный на основе
корреляционного приближения теории случайных функций, представляет
собой первый член разложения точного решения для                           a3∗ в ряд по
                     (3)
степеням ( c 2 −c1 ) ⋅ a . При равных концентрациях компонентов c1 =c 2
     решения (3.1.26 ) совпадают с точными.
          Рассмотрим общий случай пространственной неоднородности
коэффициента теплопроводности, что соответствует материалам зернистой
структуры,     а    также   композиционным     материалам,   армированным
искривленными или разнонаправленными волокнами. Решение уравнения
(3.1.18) в этом случае можно представить следующим образом:

                                  ()                (             )   ()
                                S y = Θ ,k ⋅ ∫G y −x ⋅ K ,k x ⋅ d x . (3.1.29)
    Здесь функция Грина имеет вид

                              Gx =()        1
                                                ⋅
                                        4 ⋅π ⋅ a x
                                                  1
                                                                                   (3.1.30)


    Если ориентация зерен или волокон имеет хаотический характер, т.е.
равновероятна во всех направлениях, то случайное поле коэффициента
теплопроводности a будет статистически изотропным то корреляционная
            ()
функция K y будет зависеть только от длины пространственного вектора
 y .Тогда из выражения (3.1.29) находим
                                Θ ,k ∞ dK y j ⋅y k
                  S , j (0 ) =       ⋅∫ ∫  ⋅       ⋅ dp ⋅ dΩ               ,       (3.1.31)
                               4π a 0 Ω dp   p2
где Ω - телесный угол.
      Пользуясь соотношением

                            y j yk         4
                        ∫            ⋅ dΩ = a ⋅δ jk ,                              (3.1.32)
                       Ω     p2            3
получаем окончательно
                                          K( 0 )
                            S , j ( 0 ) =−       ⋅ Θ, j       .                    (3.1.33)
                                          3⋅ a
    Из (3.1.20) и (3.1.33) следует зависимость между средними тепловыми
потоками и градиентами температуры
                               q , j =−a ∗⋅ Θ , j         ,                        (3.1.34)
                                                                               ∗
    где макроскопический коэффициент теплопроводности a определятся
соотношением

Страницы