Теория волн. Иванов В.Б. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теория волн
141
Продифференцировав (6.48) по времени и использо-
вав (6.49), нетрудно получить уравнение:
1)].-i(n-1)i(n-i(n)2[
1)(
2
2
+−=
С
dt
nid
L
(6.50)
Величина a·n является дискретной координатой, оп-
ределяющей положение ячейки.
Попробуем искать решение последнего уравнения в ви-
де:
].)(exp[),( kantiAanti
−
=
ω
(6.51)
(В показателе экспоненты i – мнимая единица, а не
ток.) Подстановка (6.51) в уравнение приводит к диспер-
сионному уравнению:
).2(
1
2
ikaika
ee
С
L −−−=
−
ω
(6.52)
После очевидных преобразований закон дисперсии
можно записать в виде:
.
2
sin
2
=
ka
LC
ω
(6.53)
Если перейти к длинноволновому пределу ka → 0, то
получится известное нам дисперсионное уравнение для
проводящей линии
.
C
a
L
a
k
LC
ka
==
ω
В дискретной
цепочке с размером ячейки, сравнимым с длиной волны,
проявляется совершенно новое качество. Поскольку зна-
чение функции синуса по модулю не превышает единицы,
появляется ограничение на частоту волн, распростра-
няющихся в линии: 
                              Теория волн

    Продифференцировав (6.48) по времени и использо-
вав (6.49), нетрудно получить уравнение:

                d 2i ( n )    1
            L         2
                           = − [2i(n) - i(n + 1) - i(n - 1)].   (6.50)
                  dt          С
    Величина a·n является дискретной координатой, оп-
ределяющей положение ячейки.
      Попробуем искать решение последнего уравнения в ви-
де:
                       i (t , an ) = A exp[i (ωt − kan )].      (6.51)
    (В показателе экспоненты i – мнимая единица, а не
ток.) Подстановка (6.51) в уравнение приводит к диспер-
сионному уравнению:
                                1
                      ω2L = −     ( 2 − e − ika − eika ).       (6.52)
                                С
   После очевидных преобразований закон дисперсии
можно записать в виде:
                              2     ka 
                       ω=       sin .                         (6.53)
                              LC  2 
    Если перейти к длинноволновому пределу ka → 0, то
получится известное нам дисперсионное уравнение для
                                                   a a
проводящей линии           ω = ka           =k         . В дискретной
                                      LC           LC
цепочке с размером ячейки, сравнимым с длиной волны,
проявляется совершенно новое качество. Поскольку зна-
чение функции синуса по модулю не превышает единицы,
появляется ограничение на частоту волн, распростра-
няющихся в линии:



                                   141

Страницы