Теория волн. Иванов В.Б. - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теория волн
143
В отсутствии возмущений имеем уравнение:
.0
0
2
0
2
0
2
=+ Ak
dx
Ad
(6.59)
Его решение запишем в виде:
.)exp()exp(
02010
xikBxikBA −+=
(6.60)
После вычитания из полного уравнения части, соот-
ветствующей отсутствию возмущений (6.59), мы получим
уравнение на слагаемые первого порядка малости по µ:
Kx)].2cos(2[
01001
2
0
2
1
2
kkAkAk
dx
Ad
+−=+
(6.61)
В правую часть последнего выражения следует под-
ставить соотношение (6.60) для A
0
. Полученное в результа-
те дифференциальное уравнение имеет общее решение,
представляемое в элементарных функциях, однако реше-
ние это настолько громоздко, что приводить его здесь не
целесообразно. Приведем только некоторые важнейшие
моменты, следующие из структуры решения.
В случае, когда k
0
≠ K в решении будет присутство-
вать слагаемое, пропорциональное k
1
x, которое неограни-
ченно возрастает при возрастании x. Поскольку такая
картина физически невозможна, следует вывод, что при
k
0
≠ K необходимо полагать k
1
равным нулю. Иными сло-
вами, в рассматриваемой ситуации основная волна прак-
тически не чувствует малые периодические возмущения в
среде.
Если k
0
= K, то в решении присутствуют слагаемые,
пропорциональные
)
2
2(
2
0
11
B
k
Bkx +
и
).
2
2(
1
0
21
B
k
Bkx +
Для
того чтобы здесь не было неограниченного роста решения
при увеличении x, необходимо потребовать равенства ну-
                          Теория волн

    В отсутствии возмущений имеем уравнение:

                  d 2 A0
                      2
                         + k02 A0 = 0.                       (6.59)
                   dx
    Его решение запишем в виде:
           A0 = B1 exp(ik0 x ) + B2 exp( −ik0 x ).           (6.60)

    После вычитания из полного уравнения части, соот-
ветствующей отсутствию возмущений (6.59), мы получим
уравнение на слагаемые первого порядка малости по µ:

           d 2 A1
               2
                  + k02 A1 = − k0 A0 [2k1 + k0 cos(2 Kx)].   (6.61)
           dx
    В правую часть последнего выражения следует под-
ставить соотношение (6.60) для A0. Полученное в результа-
те дифференциальное уравнение имеет общее решение,
представляемое в элементарных функциях, однако реше-
ние это настолько громоздко, что приводить его здесь не
целесообразно. Приведем только некоторые важнейшие
моменты, следующие из структуры решения.
     В случае, когда k0 ≠ K в решении будет присутство-
вать слагаемое, пропорциональное k1x, которое неограни-
ченно возрастает при возрастании x. Поскольку такая
картина физически невозможна, следует вывод, что при
k0 ≠ K необходимо полагать k1 равным нулю. Иными сло-
вами, в рассматриваемой ситуации основная волна прак-
тически не чувствует малые периодические возмущения в
среде.
     Если k0 = K, то в решении присутствуют слагаемые,
                                  k0                   k
пропорциональные x ( 2k1B1 +         B2 ) и x ( 2k1B2 + 0 B1 ). Для
                                  2                     2
того чтобы здесь не было неограниченного роста решения
при увеличении x, необходимо потребовать равенства ну-

                               143

Страницы