Теория волн. Иванов В.Б. - 165 стр.

                          Теория волн

ниям магнитного поля, а линии электрического поля пер-
пендикулярны им.

8.3. Уравнение Гельмгольца в цилиндрической
             системе координат
    Уравнение, которое нам предстоит решать, в общем
виде может быть записано в форме:

                  ∇ 2 П + k 2 П = 0.                            (8.16)
    В обобщенной цилиндрической системе координат
(системе ортогональных координат с выделенным направ-
лением z) оператор Лапласа представляется следующим
образом:

                 ∂2      1  ∂ h2 ∂  ∂  h1 ∂ 
          ∇2 =        +                    +              . (8.17)
                 ∂z 2
                        h1h2  ∂u1 h1 ∂u1  ∂u2  h2 ∂u2 
    Для гармонического в продольном направлении реше-
ния будем иметь:

                   П (u1 , u2 , u3 = z ) = П (u1 , u2 )eihz .   (8.18)

                            ∂2 П
   В этом случае комбинация      + k 2 П , входящая в
                            ∂z 2

уравнение Гельмгольца для обобщенной цилиндрической
системы, преобразуется в ( k 2 − h 2 ) П .
    Теперь рассмотрим круглую (обычную) цилиндриче-
скую систему. Использовав соответствующие выражения
для коэффициентов Ламэ, приведем уравнение (8.16) к
виду:

          1 ∂  ∂П  1 ∂ 2 П
               r   +         + ( k 2 − h 2 ) П = 0.           (8.19)
          r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2

                                165