Теория волн. Иванов В.Б. - 166 стр.

                            В. Б. Иванов

    Будем искать решение в форме:
                     П ( r,ϕ ) = R( r )Ф(ϕ ).                      (8.20)
    Аналогично тому, как это делалось во второй главе
при рассмотрении цилиндрических волн, приведем (8.20)
к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Уравнение на угловую часть:

                     d 2Ф
                          + p 2Ф = 0,                              (8.21)
                     dϕ 2


где p – пока произвольная постоянная, нам хорошо из-
вестно. Его решение можно записать как:
                     Ф(ϕ ) = exp(ipϕ ).                            (8.22)
    Поскольку это – периодическая по углу φ функция и
поскольку решение должно переходить само в себя, необ-
ходимо, чтобы константа р была целым числом p = 0, ±1,
±2, … .
     Уравнение на радиальную часть:
                d  dR 
                         + [( k − h )r − p ]R = 0
                                2   2  2   2
            r      r                                              (8.23)
                dr  dr 
является уравнением Бесселя. Ему удовлетворяют любые
цилиндрические   (бесселевые)  функции    порядка  р
R( r ) = Z p ( r k 2 − h 2 ). Выбор конкретного типа бесселевых
функций зависит от характера рассматриваемой задачи.
     Если рассматривается ограниченная по радиусу об-
ласть, исключающая саму ось цилиндра 0 < r < ∞, то общее
решение можно скомпоновать из функций Бесселя и Ней-
мана:

           R = A1 J p ( r k 2 − h 2 ) + A2 N p ( r k 2 − h 2 ) .   (8.24)

                                  166