Теория волн. Иванов В.Б. - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теория волн
169
волны распространяются наклонно, отражаясь от стенок.
В этой связи в волноводе второй вариант не работает.
Таким образом, для двух типов волн – ТМ и ТЕ имеем
две постановки краевых задач на вектор Герца:
0|
,0)(
222
=
=−+∇
⊥
C
e
ee
П
ПhkП
(8.27)
и
.0|
,0)(
222
=
∂
∂
=−+∇
⊥
C
m
mm
П
ПhkП
η
(8.28)
Известно, что представленные краевые задачи имеют
нетривиальные решения только при дискретных наборах
собственных чисел α
2
= k
2
– h
2
. Расположим эти числа по
возрастанию
...
2
3
2
2
2
1
ααα
<<
. Если α
i
является собствен-
ным числом краевой задачи, то ему соответствует собст-
венная функция
me
i
П
,
. При заданном k каждому α
i
сопос-
тавляется дискретное продольное волновое число
.
22
ii
kh
α
−=
Решения
)(exp(),(
21
tzhiuuПA
i
e
ii
ω
−
и
)(exp(),(
21
tzhiuuПB
i
m
ii
ω
−
называются нормальными вол-
нами (модами) типа Е и Н, соответственно. Здесь А
i
и В
i
–
произвольные амплитуды, а П(u
1
, u
2
) – решения приведен-
ных краевых задач, как функции поперечных координат.
При фиксированной частоте ω, начиная с некоторого
номера i = n, величина продольного волнового числа h
i
становится мнимой – волна в волноводе не распространя-
ется. Таким образом, в волноводе может существовать
дискретный набор нормальных волн. Если частота такова,
что
2
1
2
α
<k
, то распространение вообще невозможно. Имеет-
ся предельная (максимальная) длина волны
1max
/2
απλ
=
и 
                                Теория волн

волны распространяются наклонно, отражаясь от стенок.
В этой связи в волноводе второй вариант не работает.
    Таким образом, для двух типов волн – ТМ и ТЕ имеем
две постановки краевых задач на вектор Герца:

               ∇ ⊥2 П e + (k 2 − h 2 ) П e = 0,
                                                                            (8.27)
               П e |C = 0
и
              ∇ ⊥2 П m + ( k 2 − h 2 ) П m = 0,
              ∂П m                                                          (8.28)
                   |C = 0.
               ∂η
    Известно, что представленные краевые задачи имеют
нетривиальные решения только при дискретных наборах
собственных чисел α2 = k2 – h2. Расположим эти числа по
возрастанию α1 < α 2 < α 3 ... . Если αi является собствен-
               2    2    2


ным числом краевой задачи, то ему соответствует собст-
                   e, m
венная функция П i . При заданном k каждому αi сопос-
тавляется  дискретное        продольное    волновое   число
hi = k 2 − α i2 .       Решения               Ai Пie (u1 , u2 ) exp(i ( hi z − ωt ) и
Bi Пim (u1 , u2 ) exp(i (hi z − ωt ) называются нормальными вол-
нами (модами) типа Е и Н, соответственно. Здесь Аi и Вi –
произвольные амплитуды, а П(u1, u2) – решения приведен-
ных краевых задач, как функции поперечных координат.
     При фиксированной частоте ω, начиная с некоторого
номера i = n, величина продольного волнового числа hi
становится мнимой – волна в волноводе не распространя-
ется. Таким образом, в волноводе может существовать
дискретный набор нормальных волн. Если частота такова,
что k 2 < α12 , то распространение вообще невозможно. Имеет-
ся предельная (максимальная) длина волны                       λmax = 2π / α1 и
                                     169

Страницы