Теория волн. Иванов В.Б. - 204 стр.

                        В. Б. Иванов



             10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ

            10.1. Простые волны Римана
     Во всех предыдущих разделах мы имели дело с ли-
нейными физическими процессами и их линейным
математическим описанием. Напомним, что для линейных
явлений работает принцип суперпозиции – одновременное
воздействие двух или более процессов на систему опреде-
ляется алгебраической суммой воздействий каждого из
процессов по отдельности. Волновые уравнения, рассмот-
ренные в первой главе, оказывались линейными, как пра-
вило, в том случае, если возмущения параметров среды
распространения в волнах считались малыми по сравне-
нию с их невозмущенными значениями. Однако изна-
чально исходные уравнения, используемые при формули-
ровании волновых уравнений, являются нелинейными
уже хотя бы потому, что ускорение, записанное в эйлеро-
вой     форме,    содержит     нелинейное     слагаемое
dv ∂v   ∂v
  =   +v .
dt ∂t   ∂x
    Первое аналитическое исследование нелинейных волн
было выполнено Риманом, и предложенная им модель не-
линейных волновых полей получила названия модели про-
стых волн Римана. Следуя его методике, рассмотрим сжи-
маемую жидкость или газ, на которые не воздействуют
никакие внешние силовые поля. Единственная сила, при-
нимаемая во внимание, есть сила градиента давления.
Исходными являются уравнение непрерывности:
                 ∂ρ
                    + div( ρ u ) = 0             (10.1)
                 ∂t
и уравнение движения:

                            204