Теория волн. Иванов В.Б. - 206 стр.

                            В. Б. Иванов

    В силу того, что u и ρ связаны однозначной функцио-
нальной зависимостью, левые части последних уравнений
равны. Следовательно, равны и правые части.
                        1 ∂P      ∂u
                 u+          =u+ρ    .                 (10.7)
                        ρ ∂u      ∂ρ

    Производная ∂P           имеет размерность квадрата ско-
                       ∂ρ
рости. Если обозначить ее как с2, то, снова исходя из од-
нозначной связи всех величин, можно выполнить следую-
щую цепочку преобразований в (10.7):
        ∂P      ∂u   ∂P ∂ρ      ∂u      ∂ρ      ∂u
           = ρ2    →       = ρ2    → c2    = ρ2    .
        ∂u      ∂ρ   ∂ρ ∂u      ∂ρ      ∂u      ∂ρ

    Отсюда ∂u        = ± c , и система уравнений может
                ∂ρ          ρ
быть окончательно записана следующим образом:
                 ∂u            ∂u
                    + (u ± c )    = 0,                 (10.8)
                 ∂t            ∂x
                     ∂ρ            ∂ρ
                        + (u ± c )    = 0.             (10.9)
                     ∂t            ∂x
    Мы получили отдельное дифференциальное уравне-
ние (10.8) относительно неизвестной u. Как уравнение в
частных производных первого порядка, оно может быть
решено методом характеристик. Решение может быть
представлено только в неявном виде:
                           x 
                 u = Φ t m   .                     (10.10)
                       c±u
    Неявный вид означает то, что u стоит и в левой и в
правой части соотношения (10.10), которое только в ис-

                                206