Теория волн. Иванов В.Б. - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теория волн
209
– производная по координате обращается в бесконеч-
ность. Далее решение перестает быть однозначным, про-
исходит «закручивание» волны. Такая картина наблюдает-
ся реально для волн на поверхности воды. Слабые волны
действительно напоминают участки синусоиды. Увеличе-
ние амплитуды волны приводит к хорошо известным «ба-
рашкам», что и является проявлением нелинейности.
Поскольку в процессе распространения простых волн
их форма все больше отличается от синусоиды, видоизме-
няется и их спектр. В условиях слабой нелинейности бу-
дем искать решение уравнения (10.14) в виде суммы ряда
последовательных приближений u = u
(1)
+ u
(2)
+ u
(3)
+ … .
Каждый последующий член ряда много меньше предыду-
щего u
(n+1)
<< u
(n)
. Для первого приближения нелинейность
вообще не учитывается, и из (10.14) имеем
.0
)1(
=
∂
∂
x
u
Ес-
ли источник генерирует гармоническую волну, то при x =
0 будет:
).sin(),0(
0
)1(
ωττ
uu =
(10.15)
Второе приближение получается c использованием
первого в решении уравнения:
( )
.
2
2
)1(
2
0
)2(
u
cx
u
τ
ε
∂
∂
=
∂
∂
(10.16)
Отсюда следует:
),2sin(
2
)2sin(
2
),(
0
2
0
2
0
)2(
ωτωτω
ε
τ
u
z
xu
c
xu ==
(10.17)
где введена безразмерная координата z = εωu
0
x/c
0
2
. Итак,
во втором приближении нелинейность простых волн Ри-
мана порождает вторую гармонику частоты, амплитуда
которой нарастает по мере распространения. 
                                     Теория волн

– производная по координате обращается в бесконеч-
ность. Далее решение перестает быть однозначным, про-
исходит «закручивание» волны. Такая картина наблюдает-
ся реально для волн на поверхности воды. Слабые волны
действительно напоминают участки синусоиды. Увеличе-
ние амплитуды волны приводит к хорошо известным «ба-
рашкам», что и является проявлением нелинейности.
     Поскольку в процессе распространения простых волн
их форма все больше отличается от синусоиды, видоизме-
няется и их спектр. В условиях слабой нелинейности бу-
дем искать решение уравнения (10.14) в виде суммы ряда
последовательных приближений u = u(1) + u(2) + u(3) + … .
Каждый последующий член ряда много меньше предыду-
щего u(n+1) << u(n). Для первого приближения нелинейность
вообще не учитывается, и из (10.14) имеем ∂u
                                                                 (1)
                                                                            = 0. Ес-
                                                                       ∂x
ли источник генерирует гармоническую волну, то при x =
0 будет:

                    u (1) (0,τ ) = u0 sin(ωτ ).                             (10.15)

    Второе приближение получается c использованием
первого в решении уравнения:

                    ∂u ( 2 )   ε ∂ (1) 2
                     ∂x
                             = 2
                              2c0 ∂τ
                                     (u ) .                                 (10.16)

    Отсюда следует:
                             ε                           z
         u ( 2 ) ( x,τ ) =       2
                                     u02ωx sin(2ωτ ) =     u0 sin(2ωτ ), (10.17)
                             2c  0                       2
где введена безразмерная координата z = εωu0x/c02. Итак,
во втором приближении нелинейность простых волн Ри-
мана порождает вторую гармонику частоты, амплитуда
которой нарастает по мере распространения.

                                         209

Страницы