Теория волн. Иванов В.Б. - 30 стр.

                                   В. Б. Иванов

    Рассмотрим массу с номером i, смещенную вправо от
своего равновесного положения. Находящаяся слева пру-
жинка растянута, а пружинка справа – сжата. Пружинки
действуют на i-ю массу с силами, определяемыми законом
Гука. Нетрудно написать уравнение движения рассматри-
ваемого шарика:

    d 2 xi
m          = K (a − ( xi − xi −1 )) + K (( xi +1 − xi ) − a ) = K ( xi +1 − 2 xi + xi −1 ).
    dt 2
                                                                               (1.29)
    Введя линейную плотность вещества ρ = m/a, мы
«размазываем» дискретные массы шариков по длине це-
почки. Кроме того, нам понадобится «размазать» и упру-
гость пружинок. Коэффициент упругости К соответствует
упругости пружинки с заданной длиной. Очевидно, этот
коэффициент уменьшается с увеличением длины пружин-
ки – длинную пружинку легче сжать на одну и ту же абсо-
лютную длину, нежели короткую. В этой связи упругость
материала пружинки (а не самой пружинки) будет зада-
ваться величиной k = Ka. Тогда уравнение (1.29) мы пере-
пишем следующим образом, снова пренебрегая нелиней-
ным ускорением:

 ∂ 2 xi k 1                              k ( xi +1 − xi ) − ( xi − xi −1 )
       =      ( xi +1 − 2 xi + xi −1 ) =                                   . (1.30)
 ∂t  2
         a ρa                            ρ               a2
    Теперь необходимо сделать предельный переход, уст-
ремив a к нулю. Нетрудно видеть, что при этом последняя
дробь в правой части выражения (1.30) переходит во вто-
рую производную координаты i-го шарика по пространст-
венной переменной. Переобозначив координату шарика
(уже без индекса) символом r, и введя новую величину с
размерностью скорости s = k / ρ , мы снова придем к
волновому уравнению канонического вида:

                                          30