Теория волн. Иванов В.Б. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теория волн
45
в (2.15) равны нулю. Использовав только первые два сла-
гаемых в (2.15), из (2.11) получим:
.
2
2
2
2
2
2
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρρρ
UU
с
t
U
(2.16)
Будем, как обычно, искать гармоническое во време-
ни решение U(ρ, t) = U(ρ)e
iωt
. При этом на пространствен-
ную часть решения получим обыкновенное дифференци-
альное уравнение:
.0
U2
2
2
2
2
=++ U
с
d
d
d
Ud
ω
ρρρ
2.17)
Подстановкой U(ρ) = V(ρ)/ρ удается привести (2.17) к
стандартному виду:
.0
2
2
2
2
=+ V
с
d
Vd
ω
ρ
(2.18)
Решение последнего уравнения нам известно. Пред-
ставив его в комплексной форме и перейдя к исходной
функции U, мы будем иметь:
,
1
),(
)(
ρω
ρ
ρ
kti
etU
m
=
(2.19)
где k = ω/c. Вещественная часть от полученной формулы
дает решение волнового уравнения в виде расходящейся
(при знаке «–» в предыдущей формуле) сферической вол-
ны:
.
)cos(
ρ
ρ
ω
kt
U
−
=
(2.20)
Сферичность волны связана с тем, что фазовый
фронт 
                        Теория волн

в (2.15) равны нулю. Использовав только первые два сла-
гаемых в (2.15), из (2.11) получим:

                  ∂ 2U     2 ∂ U
                               2
                                     2 ∂U 
                       = с  
                                  +       .        (2.16)
                  ∂t 2
                             ∂ρ
                                 2
                                     ρ ∂ρ 
    Будем, как обычно, искать гармоническое во време-
ни решение U(ρ, t) = U(ρ)eiωt. При этом на пространствен-
ную часть решения получим обыкновенное дифференци-
альное уравнение:

                  d 2U 2 dU ω 2
                      +    + U = 0.                  2.17)
                  dρ 2 ρ dρ с 2
    Подстановкой U(ρ) = V(ρ)/ρ удается привести (2.17) к
стандартному виду:

                  d 2V ω 2
                      + V = 0.                       (2.18)
                  dρ 2 с 2
    Решение последнего уравнения нам известно. Пред-
ставив его в комплексной форме и перейдя к исходной
функции U, мы будем иметь:
                               1
                 U (ρ , t) =       ei (ωt m kρ ) ,   (2.19)
                               ρ
где k = ω/c. Вещественная часть от полученной формулы
дает решение волнового уравнения в виде расходящейся
(при знаке «–» в предыдущей формуле) сферической вол-
ны:
                      cos(ωt − kρ )
                 U=                          .       (2.20)
                               ρ
   Сферичность волны связана с тем, что фазовый
фронт
                               45

Страницы