Теория волн. Иванов В.Б. - 50 стр.

                      В. Б. Иванов



      3. ДИСПЕРСИЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ

          3.1. Дисперсионное соотношение
     В предыдущей главе мы выяснили, что волновое
уравнение может иметь самые разнообразные частные
решения. Волновым решением мы договорились называть
решение, которое зависит от времени и от пространст-
венных координат гармоническим образом – через триго-
нометрические функции синуса или косинуса или в виде
экспоненциальных функций с мнимыми аргументами, ли-
нейно зависящими от времени и координат. Для волновых
решений важнейшими параметрами являются частота и
волновое число (волновой вектор в трехмерном случае).
     На данном этапе необходимо специально отметить,
что волновое решение удовлетворяет волновому уравне-
нию не при любых значениях ω и k, а только при наличии
их взаимосвязи. Для выявления этой связи достаточно
подставить решение вида exp(i(ωt – kx)) в исходное волно-
вое уравнение. Комплексная форма здесь наиболее удобна
и компактна. Можно показать, что любое другое пред-
ставление гармонического решения, в том числе и в виде
стоячей волны, приводит к одной и той же связи между ω
и k.
     Подставив, в частности, волновое решение в уравне-
ние (1.8) для струны, можно убедиться, что уравнение
превращается в тождество при ω2 = k2c2. Точно такое же
соотношение следует из уравнения (1.15) для волн в газе,
уравнения (1.31) для упругих волн в твердом теле и из
уравнения (1.44) для электромагнитных волн в вакууме.
     Видоизменение исходного волнового уравнения при-
водит к изменению вида связи частоты с волновым чис-
лом. Нетрудно убедиться, что подстановка волнового ре-
шения в уравнение для плазменных волн (1.28) приводит

                           50