Теория волн. Иванов В.Б. - 51 стр.

                       Теория волн

к соотношению ω2 = k2c2 + ωp2. Как мы видели в примерах
из первой главы, наличие диссипации энергии приводит к
появлению первых производных в волновом уравнении.
При этом связь между частотой и волновым числом пере-
ходит в область комплексных чисел. Например, уравнение
для электрических волн в проводящей линии (1.38) дает
соотношение           ω2         =         k 2V 2       +
+ i ωR/L.
     Соотношение, связывающее между собой частоту и
волновое число (волновой вектор), при котором волновое
уравнение имеет волновое решение, называется диспер-
сионным соотношением, дисперсионным уравнением или
законом дисперсии. Происхождение таких названий ста-
нет понятным в дальнейшем. Именно вид дисперсионного
соотношения определяет характер волны. Поскольку вол-
новые уравнения являются уравнениями с частными про-
изводными второго порядка по времени и координатам,
закон дисперсии обычно представляет собой квадратное
уравнение относительно частоты или волнового числа.
     Простейшие дисперсионные уравнения, представ-
ленные выше для канонического волнового уравнения,
имеют два простейших же решения ω = +kc и ω = –kc. Мы
уже знаем, что эти два решения соответствуют двум вол-
нам, распространяющимся в противоположных направле-
ниях. По своему физическому смыслу частота является
величиной положительной так, что два решения должны
определять два значения волнового числа, отличающиеся
знаком. Указанный закон дисперсии допускает, вообще
говоря, существование волн с любыми волновыми числа-
ми, то есть любой длины, а, следовательно, и любых час-
тот. Фазовая скорость таких волн vф = ω/k совпадает с той
самой скоростью, которая фигурирует в волновом уравне-
нии и является постоянной величиной, зависящей только
от свойств среды.



                           51