Теория волн. Иванов В.Б. - 55 стр.

                            Теория волн

                       3.2. Биения волн
     Напомним, что явление биений колебаний наблюдает-
ся при сложении двух гармонических процессов с близки-
ми частотами и заключается в амплитудной низкочастот-
ной модуляции суммарного высокочастотного колебания.
Для рассмотрения явления биения волн вернемся к одно-
мерной волновой задаче. Пусть вдоль оси x распростра-
няются две однотипные волны с одинаковой (единичной)
амплитудой и близкими частотами ω1 и ω2. Под словом
«однотипные» мы будем понимать то, что волны имеют
один и тот же закон дисперсии ω = ω(k) или наоборот k =
k(ω) – дисперсионное уравнение может быть разрешено
либо относительно частоты, как функция волнового числа,
либо наоборот.
     Считая, что каждая из волн задается выражением
U(x, t)1, 2 = cos(ω1,2t–k1,2x), суммарное колебание запишем в
виде:

                   ω + ω2   k + k 2   ω1 − ω2    k −k 
U ( x, t ) = 2 cos 1      t− 1     x  cos     t − 1 2 . (3.3)
                   2           2       2           2 
    Частоты волн близки по величине ω1 = ω2 + ∆ω, ∆ω <<
ω1, ω2. Тогда дисперсионное уравнение k1 = k(ω1) = k(ω2 +
∆ω) можно разложить в ряд Тейлора по малой величине
∆ω, ограничившись линейным по смещению частоты чле-
ном:
                                 ∂k (ω )
                     k1 = k2 +           |ω = ω 2 ∆ω.      (3.4)
                                  ∂ω
   Введя обозначения k = (k1 + k2)/2 и ω = (ω1 + ω2)·2,
можно переписать (3.3) таким образом:
                           ∆ω    x ∂k
              U = 2 cos(      t−      ∆ω ) cos(ωt - kx).   (3.5)
                            2    2 ∂ω

                                 55