Теория волн. Иванов В.Б. - 66 стр.

                                      В. Б. Иванов

числами или, что то же самое, волны с близкими к некото-
рому значению ω0 частотами. Суперпозиция группы волн
с близкими частотами (волновыми векторами), занимаю-
щая ограниченную область пространства, называется вол-
новым пакетом.
    Узкополосность по частоте волнового пакета позволя-
ет для всех волн, составляющих пакет, разложить диспер-
сионное уравнение в ряд Тейлора по малым отклонениям
волнового вектора от центрального значения. Ограничим-
ся разложением до квадратичного члена и рассмотрим
одномерный случай:

                            ∂ω                       1 ∂ 2ω
             ω = ω0 +          |k = k 0 ( k − k0 ) +        |
                                                          2 k = k0
                                                                   ( k − k0 ) 2 . (3.27)
                            ∂k                       2 ∂k
    Коэффициент при линейном члене является, как мы
знаем, групповой скоростью волн. Обозначим коэффици-
ент при квадратичном члене в (3.27) через β. Тогда дис-
персионное уравнение примет вид:
                             ω = ω0 + v Г ( k − k 0 ) + β ( k − k 0 ) 2 .                 (3.28)
    Теперь зададим спектр начального волнового пакета в
виде гауссовой функции, но, в отличие от рассмотрения в
предыдущем разделе, не по частотам, а по волновым чис-
лам:

                             Ф( k ) = exp( −α ( k − k0 ) 2 ).                             (3.29)

    Параметр α определяет ширину спектра пакета в k-
пространстве.
    Волновое поле пакета будет описываться следующей
формулой:
    U ( x , t ) = ∫ exp{ −α ( k − k 0 ) 2 + ikx − i [ω0 + v Г ( k − k 0 ) + β ( k − k 0 ) 2 ]t }dk .
                                                                                          (3.30)


                                              66