Теория волн. Иванов В.Б. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теория волн
67
Выполнив интегрирование в последней формуле, полу-
чим:
.
ti2
xtvt)kk(2)kk(i2
Erfi
)txk(i
)ti(4
)tvx(
exp
)ti(4
i)t,x(U
Г00
00
2
Г
+
+−−−−
⋅
⋅
−+
+
−
−
+
−=
βα
βα
ω
βα
βα
π
(3.31)
Здесь функция Erfi(x) – комплексная функция ошибок
(комплексный интеграл вероятностей).
Можно видеть, что формула (3.31) описывает волну
на центральной частоте ω
0
(или с центральным волновым
числом k
0
) с амплитудой, являющейся функцией коорди-
нат и времени. Поскольку использовалась комплексная
форма представления поля, амплитуда в последней фор-
муле также является комплексным числом. Квадрат моду-
ля амплитуды будет пропорционален физически наблю-
даемой характеристике волны – ее интенсивности:
.
t
)tvx(
exp
t
1
|t)A(x,
|
222
2
г
222
2
+
−
−
+
∝
βα
α
βα
(3.32)
Интенсивность задается гауссовой функцией, макси-
мум которой перемещается в пространстве x
m
= v
г
t. Ско-
рость перемещения совпадает с групповой скоростью.
Ширина гауссовой кривой в пространстве увеличивается –
знаменатель в показателе экспоненты увеличивается со
временем. Максимальное значение функции – множитель
перед экспонентой уменьшается со временем. Наличие
множителя, определяемого интегралом ошибок, вносит
дополнительные несимметричные относительно центра
искажения формы импульса. Таким образом, волновой
пакет перемещается с групповой скоростью, «расплывает-
ся» в пространстве и уменьшается по амплитуде. При этом
расплывание и уменьшение по амплитуде обусловлены 
                                      Теория волн

    Выполнив интегрирование в последней формуле, полу-
чим:

                         π             ( x − vГ t )2                       
U ( x , t ) = −i                  exp −                + i ( k 0 x − ω0 t ) ⋅
                   4 ( α + i βt )      4 ( α + i βt )                         (3.31)
         2 i α ( k − k 0 ) − 2 β ( k − k 0 )t − tv Г + x 
 ⋅ Erfi                                                  .
                          2 α + i βt                    
    Здесь функция Erfi(x) – комплексная функция ошибок
(комплексный интеграл вероятностей).
    Можно видеть, что формула (3.31) описывает волну
на центральной частоте ω0 (или с центральным волновым
числом k0) с амплитудой, являющейся функцией коорди-
нат и времени. Поскольку использовалась комплексная
форма представления поля, амплитуда в последней фор-
муле также является комплексным числом. Квадрат моду-
ля амплитуды будет пропорционален физически наблю-
даемой характеристике волны – ее интенсивности:

                                         1               α ( x − v гt ) 2   
                   | A(x, t) | 2 ∝                  exp  − 2                .   (3.32)
                                                         α + β 2t 2         
                                     α 2 + β 2t 2                           

     Интенсивность задается гауссовой функцией, макси-
мум которой перемещается в пространстве xm = vгt. Ско-
рость перемещения совпадает с групповой скоростью.
Ширина гауссовой кривой в пространстве увеличивается –
знаменатель в показателе экспоненты увеличивается со
временем. Максимальное значение функции – множитель
перед экспонентой уменьшается со временем. Наличие
множителя, определяемого интегралом ошибок, вносит
дополнительные несимметричные относительно центра
искажения формы импульса. Таким образом, волновой
пакет перемещается с групповой скоростью, «расплывает-
ся» в пространстве и уменьшается по амплитуде. При этом
расплывание и уменьшение по амплитуде обусловлены
                                             67

Страницы