Введение в теорию игр. Жариков И.А - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

64
L(S) определяет класс K(α) = ∩{N
/
i(N
/
i, (N, α) = 1, N ∈ K} моделей, в
которых α истинно. Множество ∑ высказываний определяет класс
K(∑) = ∩α∈ΣK(α) всех моделей, в которых истинно каждое высказы-
вание из ∑. Множество ∑ называется совместным, если K(∑) ≠ 0.
Классы моделей, определяемые в языке L, называются аксиома-
тизируемыми в L. Класс моделей, аксиоматизируемый в одном языке,
может не быть таким в другом языке. В семантике изучаются вырази-
тельные возможности формализованных языков и структура аксиома-
тизируемых классов моделей.
Перечислим основные направления в математической логике.
I. Классическая логика – наиболее развитое направление, на-
шедшее применение во всех областях математики и в кибернетике, –
изучает следующие модели.
1. Модель языка – язык L
ω
первой ступени. Сигнатура языка со-
стоит из набора σ символов отношений и операций; значков ∧, (, (, →,
∀, ∃, обозначающих логические связки «и», «или», «не», «если...,
то...», «для каждого х ...», «существует такой х, что ...», набора симво-
лов, называемых предметными константами и предметными пере-
менными, а также скобок, запятой. При этом каждому символу отно-
шения или операции вписывается натуральное число, называемое ме-
стностью этого символа. В число символов включается специальный
символ = для отношения равенства. Понятие терма и формулы опреде-
ляется индуктивно. Термами являются предметные переменные. Если
f – символ n-местной операции, а про t
1
, …, t
n
известно, что они термы,
то f(t
1
, …, t
n
) тоже терм.
Простейшими формулами являются выражения вида Р(t
1
, …, t
n
),
где Р – n-местный символ отношения, а t
1
, …, t
n
– термы. Более слож-
ные формулы получаются из простейших с помощью конечного числа
связываний их значками кванторов и логических связок. Символы
предметных переменных, встречающими в формуле, разделяются на
свободные и связанные. Например в формуле ∀х∃у(f(х, у) = rVf (х, у) = и
свободным являются и, r, а х и у связаны кванторами. Формулы без
свободных переменных называются высказываниями.
2. Математические модели N объектов
N
~
есть алгебраические
системы сигнатуры σ. Под алгебраической системой N сигнатуры σ
понимается непустое множество вместе с заданными на нем совокуп-
ностями отношений и пропорций, соответствующих символам из сиг-
натуры σ. При этом местность операции и отношений равна местности
соответствующего символа. Например, множество натуральных чисел
с операциями +, – есть алгебраическая система. Класс K всех алгебр
систем есть модель класса
K
~
.

Страницы