ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
66
ментальное значение имеет теорема А.И. Мальцева, утверждающая,
что система ∑ совместна тогда и только тогда, когда каждая ее конеч-
ная часть совместна. Почти все результаты семантики являются след-
ствием этой теоремы. Они устанавливают связь между синтаксически-
ми и семантическими свойствами множества высказываний. Напри-
мер, система ∑ непротиворечива тогда и только тогда, когда она со-
вместна; высказывание α выводимо из ∑ тогда и только тогда, когда
истинно во всех моделях системы ∑ и т.д. Высказывание α называется
тождественно истинным, если оно истинно во всех алгебраических
системах, и логически истинным (доказуемым), если оно выводимо из
системы аксиом (1) – (5). Высказывание тождественно-истинно тогда и
только тогда, когда оно доказуемо. Значение языка
1
ωω
L
объясняется
тем, что большинство объектов, изучаемых в математике, являются
аксиоматизируемыми на языке
1
ωω
L
. Например, теория множеств,
арифметика натуральных чисел (без аксиомы полной индукции), поле
вещественных чисел, поле комплексных чисел, группы, кольца, поля,
решетки, алгебры Буля и др. Если класс K не определяется в
1
ωω
L
, то
большая часть теории класса K описывается на языке
1
ωω
L
, и эту часть
называем элементарной теорией класса K. Таким образом, классиче-
ская логика языка первого порядка охватывает (моделирует) большую
часть рассуждений, применяемых в математике.
II. Интуиционистская логика получается из классической логи-
ки, если придерживаться принципов конструктивизма (отказ от требо-
вания, что всякое высказывание либо истинно, либо ложно, отказ от
актуальной бесконечности и допущение только потенциально беско-
нечных множеств, требование конструктивности всех операций, при-
меняемых в математике (понятие конструктивности понимается по-
разному в разных школах). Принципы конструктивизма сильнее всего
отражаются в определении истинности высказывания.
III. Конструктивная логика создана советским математиком
А.А. Марковым (допущение принципа потенциальной бесконечности).
Язык здесь такой же, как в классической логике, но потенциально обо-
гащается переменными, кванторными знаками. Модели конструктив-
ные, истинность также определяется конструктивно.
IV. Логика второй ступени.
Язык
1
ωω
L
получается из
1
ωω
L
добавлением переменных для пре-
дикатов и разрешением навешивания на них кванторов.
Модели N = 〈А, σ, F
1
, F
2
, ...〉 получаются из алгебраических систем
N* = 〈А, σ〉 сигнатуры σ обогащением множествами F
п
для всех
n-местных отношений, определенных на А.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
