Введение в теорию игр. Жариков И.А - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

65
3. Определение истинности. Каждая формула, свободными пе-
ременными которой являются х
1
, ..., х
n
, определяет на каждой N из K
n-местное отношение. Например, формула ∀х∀y∀х
1
×х∀y
1
(х х
1
=
= и∧х y
1
ϑ→ х = 1) определяет на натуральных числах отношение вза-
имной простоты.
Для простейших формул соответствующее отношение определя-
ется самой системой N. Для более сложных формул соответствующее
отношение определяется путем интерпретации кванторов, логических
связок. (Ф
1
∧ Ф
2
) интерпретируется как «Ф
1
и Ф
2
», Ф
1
∪ Ф
2
– как «Ф
1
или Ф
2
», (Ф
1
– как «неверно, что Ф», ∀хФ
1
– как «для всех х справед-
ливо Ф
1
», ∃хФ
1
– как «существует х, для которого справедливо Ф
1
».
Согласно этому определению каждое высказывание в каждой алгеб-
раической системе либо ложно, либо истинно.
4. Логическое исчисление. Множество А логических аксиом по-
лучается из следующих пяти схем заменой букв А, В, С формулами
языка L
σ
:
А → (B → А); (1)
(A → (В → С)) → ((А → С) → (А → В)); (2)
((B → A) → (((B → A) → B; (3)
∀хA(х) → A(t), где t есть терм; (4)
∀х(A → B) → (A → ∀хB), если А не содержит свободного вхождения х.
(5)
Правила вывода:
(i) правило вывода: из А и А → В следует В;
(ii) правило сообщения: из А следует ∀хB.
Синтаксис. Система ∑ высказывания непротиворечива тогда я
только тогда, когда из ∑ невыводима формула вида А (А. Множество
∑ называется синтаксически полным, если для любого высказывания α
имеет место: из ∑ выводимо высказывание α или из ∑ выводимо вы-
сказывание (α. Всякое непротиворечивое множество ∑ можно расши-
рить до полного множества. Первостепенное значение имеет теорема
Геделя о неполноте арифметики, утверждающая несовместимость тре-
бований полноты с требованием непротиворечивости для весьма ши-
рокого класса исчислений. Согласно этой теореме даже такая, сравни-
тельно элементарная часть математики, как арифметика натуральных
чисел, не может быть полностью охвачена одной дедуктивной теорией.
Семантика. Множество Тh(K) высказываний языка L, истинных
в каждой модели N из K, называется элементарной теорией K. Фунда-

Страницы