Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

120
Матрица системы
224
112
−
−
.
Определитель второго порядка
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=+−=
−
−
=∆
=−==∆
=+−=
−
−
=∆
0.22
22
11
0,44
24
12
0,44
24
12
Все возможные определители второго
порядка равны нулю, следовательно,
ранг матрицы системы
1=
c
r .
Расширенная матрица
1224
4112
−
−−
.
Определитель второго порядка
018162
14
42
≠=+=
−
, следовательно
ранг расширенной матрицы
2=
p
r .
Итак, ранг расширенной матрицы не равен рангу матрицы системы,
следовательно, система уравнений несовместна.
Таким образом, если система уравнений (6.20.) совместна, то матрица
системы и её расширенная матрица имеют один и тот же ранг
r
, который
называется рангом системы.
Ранг системы есть не что иное, как число линейно независимых уравнений
среди наложенных ограничений.
Очевидно, что
m
r
≤ [число уравнений системы (6.20.)];
n
r
≤
[число переменных уравнения (6.19.)].
Структура задачи линейного программирования существенно зависит от
ранга системы ограничений (6.20.).
1. Если
n
r
=
, то и определитель, составленный из коэффициентов
n
линейно независимых уравнений, не равен нулю. Из алгебры известно, что в
этом случае система линейно независимых уравнений имеет единственное
решение.
Если при этом все
0≥
j
x , то найденное решение допустимо и оптимально,
т.к. оно единственно. Если в решении хотя бы одна из величин отрицательна, то
это означает, что полученное решение недопустимо и значит, каноническая
форма решения не имеет.
2. Если
n
r
< , тогда )( rn − переменным можно придавать произвольные
значения (свободные переменные), а остальные
r
переменных выразятся через
них (базисные переменные).
В дальнейшем для простоты, будем считать, что ранг системы
r
будет
равен числу уравнений
m , т.е. все уравнения системы (6.20.) линейно
независимы.
Пример. Имеется два уравнения с четырьмя неизвестными:

Страницы