Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

18
3. Посмотреть, нельзя ли уменьшить число стратегий путём замены
некоторых групп чистых – смешанными.
1.3. Решение и геометрическая интерполяция игр 2х2
Игра 2×2. Имеем конечную игру
22
×
с матрицей (табл. 1.12.):
Таблица 1.12.
A
i
B
j
B
1
B
2
A
1
a
11
a
12
A
2
a
21
a
22
Возможны два случая:
– игра имеет седловую точку;
– игра не имеет седловой точки.
В первом случае решением будет пара стратегий пересекающихся в
седловой точке. Рассмотрим второй случай, когда в игре
22 × седловой точки
нет, т.е.
β
α
≠
. Решение должно быть в смешанных стратегиях. Найдём его, т.е.
⎭
⎬
⎫
=
=
).,(
);,(
21
*
21
*
qqS
ppS
B
A
.
(1.7.)
Определим оптимальную смешанную стратегию игрока
A
–
*
A
S . В
соответствии с теоремой об активных стратегиях, если игрок
A будет
придерживаться стратегии
),(
21
*
ppS
A
= , то если игрок
B
не выходит за пределы
своих активных стратегий, выигрыш равен цене игры
ν
. Отметим, что в игре
22 × обе стратегии являются активными (иначе игра имела бы седловую точку).
Таким образом, если игрок
A придерживается стратегии ),(
21
*
ppS
A
= , то игрок
B
, не меняя выигрыша, может применять любую из своих чистых стратегий.
Исходя из сказанного имеем два уравнения:
⎭
⎬
⎫
=+
=+
,
;
222112
221111
ν
ν
papa
papa
(1.8.)
1
21
=
+
pp .
(1.9.)
Решаем (1.2.) и (1.3.) относительно
1
, p
ν
и
2
p
, получим:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−−+
−
=−=
−−+
−
=
;1
;
21122211
1211
12
21122211
2122
1
aaaa
aa
pp
aaaa
aa
p
(1.10.)

Страницы