Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

29
противоречие может разрешаться путем расширения множеств уже имеющихся
стратегий на основе тех или иных соглашений между игроками. В частности,
игроки могут выбирать свои стратегии совместно, договариваясь между собой.
В результате множество ситуаций в смешанных стратегиях будет множеством
всех вероятностных мер на множестве всех ситуаций в чистых стратегиях.
Напомним, что при отсутствии соглашений между игроками множество
ситуаций в смешанных стратегиях являлось произведением вероятностных мер,
заданных на чистых стратегиях каждого из игроков.
Обозначим через U множество всевозможных векторов выигрышей
игроков в игре n лиц при применении ими всех смешанных стратегий, заданных
на множестве всех ситуаций в чистых стратегиях. Множество U содержится в
евклидовом пространстве
n
R
и является выпуклым, так как в рассматриваемом
случае функция выигрыша каждого из игроков является линейной функцией
относительно совместной стратегии игроков, а множество их стратегий
является выпуклым. Если предположить непрерывность функции выигрыша на
множестве всех ситуаций в чистых стратегиях и компактность этого множества,
то множество всех выигрышей будет также замкнуто и ограничено, а поэтому
компактно. Таким образом, при возможности кооперирования и некоторых
предположениях о первоначальной бескоалиционной игре, игроки имеют перед
собой некоторое замкнутое ограниченное и выпуклое подмножество
n
RU ⊂
.
Это множество называется допустимым множеством. Действуя совместно,
игроки могут получить в качестве вектора выигрышей любой вектор Uu ∈ .
Пусть
*
i
u – значение антагонистической игры, в которой все игроки играют
против игрока i , т.е. стараются минимизировать его выигрыш, не обращая
внимания на свои интересы. Обозначим через
n
n
Ruuuu ∈= ),,,(
**
2
*
1
*
Κ вектор,
компоненты которого
*
i
u можно интерпретировать как выигрыши игроков в том
случае, когда они не придут к соглашению. Вектор
*
u называют точкой status
quo. Тройку
,,,
*
>=<Γ uUI
где
n
RU ⊂ ,
n
Ru ∈
*
,
},,2,1{ nI Κ=
– множества игроков, будем называть
арбитражной схемой.
Очевидно, игроки (или арбитр) должны руководствоваться некоторыми
объективными представлениями о «справедливости» (принципом
оптимальности).
2. Принцип оптимальности Нэша для общих арбитражных схем.
Сформулируем для арбитражных схем аксиомы, которым должно
удовлетворять правило
ϕ
, сопоставляющее каждому выпуклому замкнутому
подмножеству
U
и точке
*
u точку u ∈ U.
1. Реализуемость:
u ∈ U.

Страницы