Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

34
x
i
> y
i
для всех i ∈ S,
(2.8.)
x(S) ≤ v(S).
Первое условие определения (2.10) означает, что дележ х лучше дележа у
для всех членов коалиции S, а второе отражает реализуемость дележа
коалицией S (т.е. коалиция S на самом деле может предложить каждому из
игроков i ∈ I величину x
i
).
Определение 5. Дележ х доминирует дележ у, если существует коалиция
S, для которой х доминирует у.
Доминирование невозможно по одноэлементной коалиции и множеству
всех игроков. Действительно, если бы y доминировал x по {i}, то x
i
< y
i
≤ v(i),
что противоречит условию (2.6.).
А если бы y доминировал x по {i}, то x
i
> y
i
для всех i ∈ I, и потому
()
Ivyx
Ii
i
Ii
i
=>
∑∑
∈∈
, что противоречило бы условию (2.7.).
3. Эквивалентность кооперативных игр. Объединение кооперативных
игр в те или иные классы существенно упрощает их последующее
рассмотрение. В качестве таких классов можно взять классы эквивалентных
игр.
Определение 6. Кооперативная игра (I, v) называется эквивалентной игре
(I, v’), если существуют положительное число k и п таких произвольных
вещественных чисел c
hi
(i ∈ I), что для любой коалиции S ⊂ I выполняется
равенство
∑
∈
+=
Si
i
cSkvSv )()(' (2.9.)
Интересно сравнить это определение с определением стратегической
эквивалентности бескоалиционных игр. В последнем случае было больше
произвольных параметров. Это связано с тем, что в теории бескоалиционных
игр полезности игроков могут иметь разные шкалы, а в кооперативных играх
все игроки измеряют полезности в одной шкале.
Эквивалентность игры (I, v) и (I, v’) будем обозначать как (I, v) ~ (I, v’) или
v ~ v’.
Очевидно, что v ~ v. Чтобы убедиться в этом, достаточно положить в
формуле (2.9) c
i
= 0, k = 1, v' = v. Только что доказанное свойство называется
рефлективностью.
Также выполняется симметрия отношения, т. е. что из условия v ~ v'
следует v' ~ v. Наконец, если v ~ v' и v' ~ v" , то v ~ v". Это свойство называется
транзитивностью. Оно проверяется последовательным применением формулы
(2.9.). В силу того, что отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично
и транзитивно, оно разбивает множество всех игр на классы эквивалентных игр.

Страницы