Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38
Первые три аксиомы не вызывают возражений и, по-видимому, должны
выполняться при любом определении «справедливого» дележа. Последняя
аксиома не совсем естественна, так как предполагается, что при участии
игроков в двух играх (сложение характеристических функций можно понимать
как участие игроков I в двух играх) их выигрыши в отдельных играх должны
складываться. В результате вектор Ф(v) для некоторых игр приобретает ряд
нежелательных свойств. Например, он не всегда содержится в с-ядре, даже
когда оно непусто. Однако довольно часто дележ согласно вектору Ф(v) вполне
удовлетворителен. Система, состоящая из аксиом 1 – 4, является
непротиворечивой и полной.
Определение 10. Пусть Ф – функция, ставящая в соответствие согласно
аксиомам 1 – 4 каждой игре (I, v) вектор Ф(v). Тогда Ф(v) называется вектором
Шепли игры (I, v).
Оказывается функция, для которой выполняются аксиомы 1 — 4,
существует и единственна. Для каждой характеристической функции v вектор
Ф(v) является дележом. Но прежде чем это доказывать, выясним, что нам дают
три первые аксиомы.
Определение 11. Характеристическая функция v
s
кооперативной игры
называется простейшей, если она для любого Т определяется равенством
TеслиS
SеслиT
Tv
s
⊄
⊃
=
,0
,1
{)( (2.13.)
Легко проверить, что функция v
s
(T), как и функция сv
s
(T) (c>0)
действительно является характеристической, т. е. для нее выполняются
неравенства (2.5.).
Из аксиомы 3 следует, что Ф
i
(сv
s
) = 0 (i ∉ S). Функция cv
s
симметрична
относительно всех перестановок игроков, входящих в коалицию S. Поэтому
согласно первой аксиоме все компоненты вектора Шепли, соответствующие
игрокам коалиции S, равны между собой. Наконец, применяя аксиому 2,
получим
Ф
i
(сv
s
) = с / |S| (2.14.)
Следовательно, первые три аксиомы определяют вектор Шепли для
простейших характеристических функций.
Любая характеристическая функция является элементом (2
n
– 1) – мерного
пространства: каждой непустой коалиции T ⊂ S соответствует координатная
ось, а координата вектора на этой оси равна v(T). Эти векторы мы будем
обозначать, как и функции, через v. Очевидно, простейшим
характеристическим функциям соответствуют векторы, координаты которых
равны либо нулю, либо единице.

Страницы